Построение допустимого плана с помощью искусственного базиса

Как мы уже отмечали, преобразования симплекс метода могут выполняться только с базисного допустимого решения. Однако поиск такого решения также довольно непрост. Формально мы должны перебирать базисные решения до тех пор пока мы не найдем неотрицательное или не покажем что таких не существует.

В этом параграфе мы покажем, как симплекс-методом можно найти базисное допустимое решение или доказать, что система ограничений канонической задачи несовместна.

Предположим, что в системе уравнений (12) значения свободных членов отрицательны. Умножим эти уравнения на –1 и составим новую систему уравнений:

(14)

В этой системе искусственные переменные можно взять за базисные, тогда все компоненты базисного решения будет неотрицательны.

Составим новую задачу:

при ограничениях (14) и .

Наименьшее возможное значение вспомогательной целевой функции равно нулю и оно достигается только в том случае, когда значения всех переменных равны нулю и они выведены из числа базисных. Таким образом, среди базисных переменных будут только иксы, а значит, был построен базисный допустимый план, и в дальнейшем переменные игреки можно не рассматривать.

Если же минимальное значение вспомогательной функции положительно, то система (12) не имеет базисного решения с неотрицательными компонентами.

Пример 8. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс методом.

(15)

при ограничениях

. (16)

Решение. Введем дополнительные переменные

и перейдем к канонической задаче линейного программирования.

, (17)

при ограничениях

(18)

.

Если в этой задаче переменные взять за базисные, а за свободные, то базисным решением системы уравнений будет набор: , пятая компонента которого отрицательна. То есть это решение будет недопустимым. Следовательно, за базисные мы должны взять какие-то другие переменные.

Введем искусственную переменную в третье уравнение:

и составим вспомогательную целевую функцию:

,

в записи которой базисная переменная выражена через свободные. Составим вспомогательную задачу.

при ограничениях

.

Для этой задачи составим симплекс-таблицу 7. В эту таблицу мы включили первоначальную целевую функцию , которая будет преобразовываться по тем же правилам, что и вся симплекс-таблица.

Таблица 7. Таблица 8.

	1	3	1	0	0	0	30			0	11/5	1	0	1/5	-1/5	26
	2	1	0	1	0	0	20			0	-3/5	0	1	2/5	-2/5	12
	5*	4	0	0	-1	1	20			1	4/5	0	0	-1/5	1/5	4
	2	3	0	0	0	0	0			0	7/5	0	0	2/5	-2/5	-8
	5	4	0	0	-1	0	20			0	0	0	0	0	-1	0

За генеральный столбец в таблице 7 мы возьмем столбец . Отношения свободных членов к элементам этого столбца будут соответственно равны . Поэтому генеральный элемент будет в третьей строчке и равен 5. После преобразований у нас получиться таблица 8.

Переменная вошла в число базисных вместо переменной , а минимальное значение вспомогательной функции равно нулю. Следовательно, нами построено базисное допустимое решение канонической задачи (17, 18):

, , , , .

Заметим, что значение целевой функции на этом решение равно –8. Симплекс таблица для первоначальной задачи получается из таблицы 8 вычеркиванием столбца и последней строки . У нас получиться симплекс-таблица 9.

Таблица 9. Таблица 10.

	0	11/5	1	0	1/5	26				0	5/2*	1	-1/2	0	20
	0	-3/5	0	1	2/5*	12				0	-3/2	0	5/2	1	30
	1	4/5	0	0	-1/5	4				1	1/2	0	1/2	0	10
	0	7/5	0	0	2/5	-8				0	2	0	-1	0	-20

В этой таблице выберем генеральный элемент и выполним преобразование таблицы. У нас получиться Таблица 10. В этой таблице значение целевой функции равно –20, что меньше чем в таблице 9. Снова применим алгоритм симплекс метода. У нас получится Таблица 11.

Таблица 11.

	0	1			0	8
	0	0			1	18
	1	0			0	6
	0	0	-4/5	-3/5	0	-36

Все элементы последней строки отрицательны. Следовательно эта таблица порождает оптимальное базисное решение задачи (17, 18). А именно,

, , , , .

При этом минимальное значение функции равно –36.

Минимальное значение функции задачи (25, 16) равно также –36 и оно достигается в точке с координатами , .