Условие допустимости.

Базисное решение, порождаемое базисной симплекс-таблицей, допустимо, если все элементы столбца свободных членов неотрицательны: , .

Условие оптимальности.

Допустимое базисное решение, порождаемое базисной симплекс таблицей, оптимально, если все числа, стоящие в последней строке, неположительные, за исключением, быть может, числа .

Таким образом, мы выделили класс симплекс-таблиц, по которым легко построить оптимальное базисное решение.

Пример 6. Записать следующую задачу в форме симплекс таблицы в базисе переменных , а также условия допустимости и оптимальности соответствующего базисного решения.

при ограничениях (12) и .

Решение. Соответствующая симплекс таблица будет иметь вид:

Таблица 2

			1	0	0
			0	1	0
			0	0	1
			0	0	0

Базисным решением задачи будет матрица . Оно будет допустимым, если и оптимальным, если . При выполнении этих условий минимальное значение функции F будет равно .

Преобразование симплекс таблиц

Сформулируем теперь правила преобразования симплекс таблиц. Так как каждой таблице можно сопоставить систему линейных алгебраических уравнений, то эти правила будут аналогичны тем правилам, которые известны из теории преобразования систем линейных уравнений. А целью этих преобразований будет получение такой таблицы, для которой выполняются вышеуказанные условия оптимальности.

Все наши действия имеют также геометрическую интерпретацию. Каждому базисному решению задачи соответствует вершина выпуклого многогранного множества допустимых решений задачи. А каждому преобразованию симплекс таблицы соответствует переход от одной вершины к другой, уменьшающий значение целевой функции.

Проверка оптимальности и выбор генерального элемента симплекс таблицы

• Если все элементы последней строки таблицы, кроме последнего, неположительные, то таблица порождает оптимальное базисное решение.

• За генеральный столбец берётся тот столбец таблицы, кроме последнего, в последней строке которого стоит положительный элемент.

• Если все элементы выбранного генерального столбца, кроме последнего, неположительные, то целевая функция неограниченна на множестве допустимых решений, а задача не имеет оптимального плана.

• За генеральную строку берется та строка таблицы, кроме последней, в которой отношение свободного члена к положительному элементу генерального столбца наименьшее.

• Генеральный элемент таблицы помечается знаком *.

Составление новой симплекс таблицы.

• Имена всех базисных переменных сохраняются за исключением имени генеральной строки. Оно заменяется именем переменной генерального столбца.

• Элементы генеральной строки делятся на генеральный элемент, и полученные значения заносятся в новую таблицу. В частности, на месте генерального элемента записывается единица.

• Остальные элементы генерального столбца заменяются нулями.

• Для элемента исходной таблицы находятся соответствующий ему элемент генеральной строки и элемент генерального столбца. На месте этого элемента в новой таблице пишется

, (13)

где – генеральный элемент.

Компактно это преобразование таблицы можно записать в виде формулы:

Пример 7. Решить следующую каноническую задачу линейного программирования симплекс-методом.

,

при ограничениях

Решение. В этой задаче легко выделить базисные и свободные переменные. Полагая значения свободных переменных нулю, найдем значение базисных переменных: , , . Полученное базисное решение очевидно неотрицательно и, следовательно, допустимо. Составим теперь (базисную) симплекс-таблицу в первом столбце, которой указаны имена базисных переменных. (Таблица 3.)

Таблица 3. Таблица 4.

	– 5	6	1	0	0	30				0			
	4 *	–3	0	1	0	20				1	–3/4	0	1/4	0	5
	3	1	0	0	1	28				0
	7	2	0	0	0	0				0					

Эта таблица не порождает оптимальное базисное решение, так как в последней строке стоят два положительных числа. Возьмем одно из них, например 7. Следовательно, первый столбец будет генеральным. Найдем теперь отношения свободных членов к положительным элементам генерального столбца: . Наименьшее из этих отношений оказалось во второй строке. Пометим генеральный элемент символом *.

Переменную введем вместо в число базисных. На месте генерального элемента запишем число 1, вместо остальных элементов генерального столбца запишем нули, все остальные элементы генеральной строки поделим на генеральный элемент, число 4. В результате мы получим таблицу 4.

Заполним клетку помеченную символом (). Соответствующие элементы генеральной строки и столбца будут равны: , , поэтому в этой клетке следует написать ( по формуле 13). В клетке, помеченной знаком (), напишем . Аналогично заполняются оставшиеся клетки Таблицы 4. (Таблица 5.)

Таблица 5. Таблица 6.

	0	9/4	1	5/4	0	55				0	0	1	23/13	-9/13	46
	1	–3/4	0	1/4	0	5				1	0	0	1/13	3/13	8
	0	13/4*	0	-3/4	1	13				0	1	0	-3/13	4/13	4
	0	29/4	0	-7/4	0	-35				0	0	0	-1/13	-29/13	-64

Таблица 5 порождает следующее базисное решение задачи:

, , , , .

Значение целевой функции будет . То есть на новом базисном плане оно меньше на 35 единиц, чем на первоначальном.

Найденное нами базисное решение не оптимально, так как в последней строке Таблицы 5 есть положительные элементы. Для нахождения следующего базисного плана выберем базисный столбец симплекс-таблицы 5. Так как в последней строке положительный элемент только один, то за такой столбец следует взять столбец .

Как и ранее вычислим отношения свободных членов к положительным элементам генерального столбца. У нас получатся следующие отношения: . Наименьшим из этих отношений оказалось третье и, следовательно, генеральной строкой будет третья строка. Таким образом, генеральным элементом таблицы 5 будет число .

Выполним преобразование таблицы 5 и составим таблицу 6. Составление этой таблицы удобно начинать с последней строки, так как именно по ней определяется оптимальность получаемого решения. Так как все элементы последней строки оказались отрицательными, то порождаемое этой таблицей базисное решение

, , , ,

будет оптимальным, а минимальное значение целевой функции .