Геометрическое решение задачи линейного программирования

Для того чтобы решить задачу линейного программирования геометрически, построим множество решений системы ограничений. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Для точек одной из полуплоскостей выполняется неравенство , а для точек другой полуплоскости противоположное неравенство . Если ограничением задачи будет система неравенств, то множеством допустимых решений этой задачи будет выпуклое многоугольное множество, полученное как пересечение полуплоскостей, каждая из которых является решением соответствующего неравенства системы.

Построим теперь линии уровня функции . Очевидно, что это будут параллельные линии , перпендикулярные нормальному вектору . Следовательно, при параллельном перемещении линии уровня в направлении вектора значение целевой функции F будет возрастать, а противоположном убывать. Свое максимальное значение функция F примет на «последней» общей точке множества допустимых решений и соответствующей линии уровня при ее параллельном переносе в направлении вектора .

Пример 3. Решить следующую задачу линейного программирования геометрически.

, (4)

при ограничениях

. (5)

Решение. Найдем множество решений неравенств. Для этого построим три прямые:

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Стрелочками отметим ту полуплоскости, которая удовлетворяет неравенству . Для этого достаточно проверить хотя бы одну точку этой полуплоскости, например, начало координат . Пересечение полуплоскостей составит множество допустимых решений задачи D.

П остроим теперь линии уровня функции F, т.е прямые для различных p. На рисунке показана прямая, соответствующая значению . На части этой прямой, лежащей внутри этой области, значение функции F равно 14.

Параллельно переместим эту прямую в направлении вектора . Свое наибольшее на множестве значение функция F примет в вершине многоугольника точке . Для того чтобы найти ее координаты достаточно решить систему уравнений:

Откуда мы находим , . Итак, максимальное на множестве значение функции F равно ,

которое она принимает в точке с координатами , .

Построение симплекс-таблицы

Определение 4. Задача линейного программирования называется канонической, если она имеет следующий вид.

Задача 2. Найти минимум линейной функции:

, (6)

при ограничениях

(7)

,

или в матричной форме

, (8)

, . (9)

Определение 5. Мы будем говорить, что задача линейного программирования (1,2) сведена к некоторой канонической задаче линейного программирования (возможно с другим числом переменных и ограничений), если по решению первой задачи можно построить решение второй задачи и наоборот.

Пример 4. Свести задачу линейного программирования

,

при ограничениях

(10)

,

к канонической задаче.

Перенесем члены неравенств в одну часть так, чтобы полученные выражения были неотрицательны:

Введем дополнительные переменные , , по формулам:

(11)

Таким образом, каждому решению системы неравенств (10) будет соответствовать решение системы уравнений (11), причем все его компоненты будут неотрицательны. И наоборот каждому неотрицательному решению системы (11) будет соответствовать решение системы (10).

Если функция F принимает в некоторой точке максимальное значение, то в этой точке функция (–F) принимает свое минимальное значение. Причем эти значения будут равны с точностью до знака. Таким образом, вместо максимума функции на множестве D можно искать на этом множестве минимум функции .

Таким образом, искомая задача может быть сведена к следующей задаче линейного программирования:

,

при ограничениях

.

По оптимальному решению первоначальной задачи легко найти оптимальное решение канонической задачи.

Минимальное значение функции , в точке с координатами:

, , , , .

Определение 6. Набор из m различных переменных системы уравнений (7) называется базисным, если все переменные из этого набора могут быть выражены только через оставшиеся переменные с помощью элементарных преобразований системы. Переменные, входящие в этот набор, называются базисными, а остальные свободными.

Определение 7. Решение системы (7) называется базисным (опорным планом), если значения всех свободных переменных равны нулю.

Пример 5. Найти базисное решение системы:

(12)

Решение. В этой системе уравнений за базисные переменные можно взять переменные , а за свободные , так как первые легко выражаются через последние. Итак, базисным решением этой системы будет набор чисел .

Определение 8. Симплекс-таблицей для канонической задачи (6), (7) называется следующая таблица:

Таблица 1

			....
			....
			....
....	....	....	....	....	....
F			....

Здесь имена базисных переменных. Последняя строка таблицы соответствует равенству .

Мы будем называть эту таблицу базисной, если в столбцах помеченных переменными стоят только нули, за исключением строки помеченной той же переменной, где стоит 1.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с базисными симплекс-таблицами. Каждая базисная симплекс-таблица порождает некоторое базисное решение. В нем значения выделенных базисных переменных равны соответствующим свободным членам, а значения остальных переменных равны нулю.

Легко убедиться в верности следующих условий допустимости и оптимальности базисных решений