Графический анализ данных

Сравнение с теорией. Для проверки теоретической зависимости на график наносят экспериментальные точки с указанием погрешностей, а также строят теоретическую кривую. В зависимости от того, пройдет ли кривая через доверительные интервалы экспериментальных точек, результаты эксперимента признают согласующимися (а) или не согласующимися (б) с теорией (рис. 2).

Р ис. 2

Подбор параметров. Часто экспериментально определяются величины х и у, связанные функциональной зависимостью

Вид функции f(x) бывает обычно известен из теоретических соображений, а параметры определяются по результатам эксперимента. В случае линейной зависимости есть простые приемы нахождения параметров, позволяющие построить ''наилучшую'' прямую. Пусть между х_i и у_i предполагается линейная зависимость и требуется определить параметры k и b, наиболее соответствующие результатам измерений.

Для приближенного определения параметров нужно нанести экспериментальные точки на график и провести прямую так, чтобы по обе стороны от нее оказалось одинаковое количество точек и отклонения точек от прямой были бы минимальны. Угловой коэффициент k определяется из графика или вычисляется через координаты крайних экспериментальных точек:

Погрешность находят по формуле

где у – погрешность в определении у. Если погрешность измерения у неизвестна, в качестве у следует взять наибольшее отклонение точек от проведенной прямой. Для более точного определения k воспользуемся методом парных точек. Пронумеруем экспериментальные точки (рис.3), возьмем две из них, например 1 и 4, проведем через них прямую. Эта прямая имеет угловой коэффициент:

Рис. 3

Возьмем другую пару точек – 2 и 5, снова построим прямую и определим ее угловой коэффициент k_2. Проведя таким образом еще несколько прямых, получим набор значений угловых коэффициентов. Их среднее значение даст угловой коэффициент k искомой прямой, которая и будет ''наилучшей''. Погрешность k определяется так же, как и погрешность среднего значения серии измерений.

Точки для проведения вспомогательных прямых следует выбирать так, чтобы расстояния между координатами х_i этих точек были для всех прямых одинаковыми и немного превышали половину всего интервала значений величины х. При этом точность определения k будет наибольшей.

Вспомогательные прямые на графике обычно не проводят, а ограничиваются лишь вычислением угловых коэффициентов. На графике строят только ''наилучшую'' прямую.

Для нахождения b нужно учесть, что наилучшая прямая должна проходить через центр тяжести экспериментальных точек, т. е. через точку с координатами

Из уравнения прямой находим

При построении наилучшей прямой измеренные значения х обычно считают точными. Тогда погрешность определения b

В качестве грубой оценки используем максимальное отклонение точек от проведенной прямой.

Обработка результатов измерений методом наименьших квадратов

Между измеряемыми величинами (например, х_i и у_i, где i  номер измерения) часто существует функциональная зависимость. Пусть вид этой зависимости известен с точностью до значений некоторых параметров а₁, а₂, ... , а_m

и нужно подобрать значения параметров так, чтобы расхождение расчетной кривой с результатами опыта было минимальным.

Критерием получения ''наилучшей'' комбинации параметров служит минимальность суммы квадратов отклонений или среднеквадратичного отклонения экспериментальных точек от расчетной кривой. Подбор параметров по такому принципу называется методом наименьших квадратов (МНК).

МНК не дает вида зависимости у(х). Вид зависимости выбирается либо из теоретических предположений, либо как наиболее соответствующий экспериментальным данным. Поэтому перед применением МНК необходимо убедиться, что результаты опыта действительно соответствуют предполагаемой зависимости. Прежде всего, нужно представить результаты графически.

При интерпретации опытных данных значения х_i будем считать точными. Погрешности в определении х приводят к дополнительному разбросу у_i и тем самым учитываются в отклонениях у_i от расчетной кривой.

Критерий МНК требует минимальности суммы:

Условие минимума при i=1, ... , m содержит m уравнений, т.е. столько, сколько неизвестных параметров а_i.

Применим МНК к линейной зависимости, которая в нашем практикуме часто встречается:

Сумма

(17)

минимальна при условии

Отсюда приходим к уравнениям

Разделив обе части уравнений на m, получим

(18)

(19)

Из последнего уравнения следует, что наилучшая прямая проходит через центр тяжести экспериментальных точек, т. е. через точку с координатами

Решение уравнений (18) и (19) дает следующие выражения для параметров прямой:

Выражения среднеквадратичных отклонений приводим без вывода:

Если экспериментальные точки группируются вдали от начала координат, то вычисления должны проводиться с большей точностью, без округлений.

Вычисления по МНК обычно проводят на ЭВМ, используя стандартные программы. В результате вычислений следует написать уравнение прямой и провести ее на графике.

Это и будет расчетная линия, имеющая наименьшее расхождение с результатами эксперимента.