Косвенные измерения Погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях искомая физическая величина связана некоторой функциональной зависимостью с рядом независимых друг от друга величин x₁, x₂, … , x_m:

y = F(x₁, x₂, … , x_m).

Величины x_i измеряют непосредственно (прямо). Результат измерения каждой из величин х_i содержит свою погрешность. И в зависимости от вида функции, связывающей искомую величину y с результатами измерений x_i, эти погрешности по-разному влияют на погрешность окончательного результата.

Задача состоит в том, чтобы найти наивероятнейшее значение искомой величины у и оценить погрешность ее измерения. В качестве о ц е н к и величины у принимают величину, которая представляет собой значение функции, соответствующее средним значениям величин , т. е.

Результат косвенного измерения также содержит случайную и систематическую погрешности.

Общие правила вычисления погрешностей могут быть выведены с помощью дифференциального исчисления.

Пусть интересующая нас величина y линейно зависит от измеряемой величины x:

y=ax+b. (8)

Здесь а и b – постоянные, точно известные величины. Легко показать, что если х изменить на , то y, соответственно, изменится на величину , т. е.

. (9)

Если – погрешность измерения, то будет погрешностью результата.

В общем случае, если y=F(x), то для погрешностей, малых по сравнению с измеряемой величиной, мы можем с достаточной точностью написать (так как )

, (10)

где – производная по x, взятая при .

Из выражения (10) легко получаем относительную погрешность

,

где F( ) – есть значение у при ; – производная по x, взятая при .

Если у – функция многих измеряемых величин

т.е. y=F(x₁, x₂, ... , x_n), то

(11)

где и т. д. – есть частные производные от F по x₁, x₂, ... , x_n. В математике правая часть выражения (11) называется полным дифференциалом функции нескольких независимых переменных, а слагаемые , из которых он состоит – частными дифференциалами.

Но расчет по формуле (11) дал бы з а в ы ш е н н о е значение погрешности , так как он не учитывает знак погрешностей. В действительности погрешности разных знаков частично компенсируют друг друга, и погрешность результата (при той же надежности) будет меньше рассчитанной по формуле (11). Теория вероятности дает следующий метод вычисления погрешности функции:

, (12)

и

ли в общем виде

(13)

Относительная погрешность результата

. (14)

Так как

то для относительной погрешности получаем

. (15)

Из (15) или (14) вытекает последовательность операций для определения относительной погрешности.

П р и м е р. Экспериментально определяем плотность вещества

,

где m – масса тела в форме цилиндра; l – длина цилиндра; D – диаметр цилиндра; m, l, D измеряются непосредственно и имеют погрешности  – не измеряется, но берется с некоторым приближением . Требуется определить .

Удобнее сначала определить относительную погрешность по формуле (15). Для этого необходимо выполнить следующее.

1. Прологарифмировать функцию :

.

2. Взять частные производные от по m, l, , D:

3. Подставить полученные частные производные в выражение (15) и записать относительную погрешность результата:

Здесь полезно оценить вклад в общий результат погрешностей прямых измерений. Если, например, окажется значительно меньше максимальной погрешности, то ее можно отбросить. Вообще, при вычислении смело можно отбрасывать погрешности, не превышающие от максимальной. При этом вычисления упрощаются, и становится очевидным, какие измерения надо производить более тщательно.

4. Определить абсолютную погрешность результата:

(16)

Погрешности в случае простейших функций. Если косвенно измеряемая величина выражается простейшей функцией, то используя указанный метод, можно вывести следующие зависимости для определения погрешностей:

если или , то из формулы (13) получим

если или , где а  постоянная величина, то из формулы (14) или (15) получается

если , где а  постоянная величина, то

если , где а  постоянная величина, то

П р и м е р: .

Пользуясь указанными соотношениями, легко определить абсолютную погрешность не прибегая к дифференцированию:

Обратите внимание, что в этом примере, как и в трех последних зависимостях, постоянный множитель a (здесь ) не входит в формулу погрешности.