Прямые измерения Случайные погрешности. Доверительный интервал и доверительная вероятность

Когда результат измерений представляет собой случайную величину и каждое измерение содержит случайную погрешность, то оценку точности этих измерений можно получить с помощью методов математической статистики.

Предположим, мы провели серию измерений некоторой физической величины x. Результат отдельного измерения обозначим x_i, общее число измерений – n. Если систематическая погрешность отсутствует, разумно предположить, что значения x_i расположатся вблизи неизвестного нам истинного значения x измеряемой величины, причем отклонения в сторону больших и меньших значений будут равновероятными. Тогда в качестве наилучшего приближения к истинному значению следует взять среднее арифметическое отдельных измерений:

. (1)

Для упрощения вычислений в качестве приближенного значения измеряемой величины можно взять среднее между максимальным и минимальным значениями, полученными при измерениях:

(2)

Точность соответствия среднего значения истинному значению зависит от ряда факторов и в первую очередь от точности каждого измерения и от числа измерений. Выполнив измерения, нужно привести результат и дать информацию о его точности. Принято указывать интервал значений измеряемой величины , в пределах которого с определенной вероятностью может оказаться истинное значение измеряемой величины. Величина называется абсолютной погрешностью результата; интервал от до – доверительным интервалом.

Для того чтобы приведенный доверительный интервал имел конкретный смысл, нужна количественная характеристика его достоверности. Такая характеристика (вероятность того, что среднее значение x отличается от истинного не более чем на ) называется доверительной вероятностью или надежностью. Обозначим ее . Поясним смысл этой величины примером.

Пусть результат серии измерений записан в виде и сказано, что приведенный доверительный интервал (от 35 до 41) соответствует доверительной вероятности =0,9. Что это означает?

Если мы произведем серию измерений, например N=100 измерений, то в N =90 случаях результаты будут отличаться от истинного значения измеряемой величины не более чем на =3, а остальные результаты выйдут за пределы доверительного интервала. Но погрешность результата измерений недостаточно характеризует собой достоинство измерения. Она не позволяет оценить сравнительную точность нескольких разнородных величин. Например, результат измерения сопротивления проводника R=(282) Ом, результат измерения его длины L=(4002) см. Что точнее измерено? Погрешности об этом ничего не говорят. В таких случаях вычисляют относительные погрешности, т.е. отношение погрешности к среднему результату измерений:

(3)

и производят их сравнение. В данном случае = 0,07,

= =0,005; измерение длины выполнено точнее.

Относительная погрешность может быть выражена в процентах:

. (3)

В данном примере =7%, =0,5%.

Окончательный результат приводится с указанием абсолютной и относительной погрешностей и доверительной вероятности:

, , , .

Значащими цифрами называются все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Например, в числе 0,00385 три значащие цифры; в числе 0,003085 их четыре; в числе 2500 – четыре; в числе 2,5·10³ – две.

Теория ошибок показывает, что нет смысла проводить вычисление погрешностей с большой точностью. Промежуточные вычисления погрешностей производят не более чем с двумя значащими цифрами. При записи результата измерения в стандартной форме достаточно ограничиться одной значащей цифрой в погрешности (т.е. округлить до одной значащей цифры), но если первая значащая цифра – единица, нужно оставить две значащие цифры. После этого среднее значение округляется так, чтобы в нем осталось столько же знаков после запятой, сколько их получилось в погрешности.

Примеры правильной записи результата измерения:

x = (5,290±0,013) мм; x = (4,52±0,03) мм;

x = (7,2±0,8) мм; x = (49±3) мм.

Примеры неправильной записи результата измерения:

x = (5,29±0,01) мм; x = (5,2900±0,0134) мм;

x = (5,29±0,013) мм; x = (4,521±0,032) мм; x = (7±0,8) мм.