1) Найти коэффициенты

, ;

2) Записать решение задачи в виде ряда

.

Можно показать [6, с. 95], что полученный результат имеет место, если функция является дважды непрерывно дифференцируемой и имеет третью кусочно-непрерывную производную, а функция ‑ непрерывно дифференцируема и имеет вторую кусочно-непрерывную производную и выполнены условия

.

Данные требования не всегда выполняются, поэтому часто рассматривают обобщенное решение [7, с. 95] данной задачи.

Определение. Если полученный ряд (10) нельзя дважды почленно дифференцировать, но он сходиться равномерно, то решение (10) будем называть обобщенным решением данной задачи.

Рассмотрим теперь физическую интерпретацию полученного решения.

Преобразуем n-ый член ряда (10):

►Так как

,

то тогда введем замену

, .◄

►Применим формулу тригонометрии

.◄

.

При построим на одном чертеже (рисунок 5) профили струны при всех .

Таким образом, каждая точка струны либо покоится (такие точки называются узлами), либо совершает поперечные гармонические (то есть по закону синуса или косинуса) колебания с амплитудой , зависящей от координаты точки струны. Точки с максимальным размахом колебаний называются пучностями.

Так как узлы и пучности не перемещаются вдоль струны, то функции называются стоячими волнами или гармониками.

Определение. Количество колебаний системы за секунд называется ее циклической частотой.

Циклические частоты называются собственными частотами струны: ‑ частота основного тона, ‑ обертоны.

Так как , то свободные колебания струны представляют собой суперпозицию (сумму) гармоник с различными собственными частотами и амплитудами. Наличие тех или иных гармоник определяется НУ, то есть способом первоначального возбуждения колебаний.

Рисунок 5

3.3 Смешанная задача для вынужденных колебаний струны с закрепленными концами

Рассмотрим смешанную задачу для вынужденных колебаний струны с нулевыми начальными и граничными условиями.

УЧП: ;

НУ: ;

;

ГУ: , .

Будем считать, что функция удовлетворяет всем требованиям, которые налагаются преобразованиями, применяемыми в ходе решения задачи.

Решение данной задачи будем искать в виде

.

Здесь ‑ пока неизвестные функции.

Очевидно, что введенная таким образом функция будет удовлетворять ГУ в независимости от .

Подставим ряд для функции в УЧП, допуская, что его можно дифференцировать почленно по переменным и требуемое число раз.

;

►Почленно продифференцируем ряды.◄

;

;

►Считая параметром, разложим функцию в ряд Фурье на отрезке по синусам

, где .◄

►Перенесем вторую и третью суммы в левую часть и преобразуем ее таким образом, чтобы в ней осталась только одна сумма.◄

;

;

;

;

.

Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке по синусам. Так как это разложение единственно, то отсюда следуют равенства

, (11)

где

Используем первое НУ

.

Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке по синусам. Так как это разложение единственно, то тогда

, (12)

где

Используем второе НУ :

, .

Получили разложение 0 в ряд Фурье на отрезке по синусам. Так как это разложение единственно, то тогда

, (13)

где

Из (11), (12) и (13) имеем задачи Коши

Решив которые, получим неизвестные функции .

Таким образом, решение рассматриваемой задачи следует проводить по схеме: