5.2 Интегральная формула Пуассона
Подставим в решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге (44) выражения для его коэффициентов (45).
►Используем, что сумма интегралов равна интегралу суммы.◄
►Применим формулу тригонометрии
.◄
►Поменяем местами знак суммы и знак интеграла.◄
►Используем, что сумма интегралов равна интегралу суммы.◄
. (46)
Для преобразования полученного выражения найдем сумму ряда
►Введем обозначения
,
.◄
►Используем формулу
.◄
►Используем формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии
.◄
►Используем формулу
.◄
►Произведем обратную замену переменных
,
.◄
►Умножим числитель и знаменатель
полученного выражения на
.◄
.
Подставим полученное выражение в (46) вместо ряда
.
Получим
►Введем обозначение
.
Функция
называется ядром Пуассона.◄
.
Полученный интеграл называется интегралом Пуассона. Он представляет собой другой вариант записи решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
Список использованных источников
1. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учебник для вузов / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – 3-е изд., испр. – М.: Наука, 1989. – 464 с.
2. Араманович, И. Г. Уравнения математической физики / И. Г. Араманович, В. И. Левин. - М.: Наука, 1969. ‑ 286 с.
3. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов / К. Б. Сабитов. ‑ М.: Высш. шк., 2003. ‑ 255 с.: ил.. ‑ Библиогр.: с.251-253. ‑ ISBN 5-06-004676-1.
4. Мартинсон, Л. К. Дифференциальные уравнения математической физики: учебник для втузов / Л. К. Мартинсон, Ю. И. Малов; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. ‑ 3-е изд., испр. ‑ М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. ‑ 368 с. ‑ (Математика в техническом университете; вып. XII). ‑ Библиогр.: с. 361-362. ‑ Предм. указ.: с. 363. ‑ ISBN 5-7038-2792-2.
5. Фарлоу, С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985. – 384 с.
6. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. ‑ 4-е изд., испр. - М.: Наука, 1972. ‑ 736 с.
7. Русак, В.Н. Математическая физика: учеб. пособие / В.Н. Русак. – 2-е изд., испр. – М.: КомКнига, 2006. – 248 с. ‑ ISBN 5-484-00377-6.
8. Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений: учебник / И.Г. Петровский. – 7-е изд. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 240 с. – ISBN 987-5-397-00007-9.
9. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. Т. III / Г.М. Фихтенгольц. ‑ 8-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 728 с. – ISBN 5-9221-0466-7.
10. Универсальный справочник: высшая математика, физика, теоретическая механика, сопротивление материалов / А.Д. Полянин, В.Д. Полянин, В.А. Попов и др. – М.: АСТ: Астрель: Профиздат, 2005. – 480 с. – ISBN 5-17-031871-5, ISBN 5-271-12186-0, ISBN 5-88283-279-9.
11. Никольский, С.М. Курс математического анализа: в 2 т. Т. II: учебник / С.М. Никольский. ‑ 3-е изд., перераб. и дополн. – М.: Наука, 1983. – 448 с.