2.4.3 Задачи для эллиптических учп

Пусть функция описывает стационарное (не меняющееся с течением времени) распределение температур в тонкой пластине, представляющей собой плоскую область . Величина является температурой точки пластины с координатами . В данном случае функция будет удовлетворять так называемому уравнению Лапласа

,

где ‑ оператор Лапласа в декартовой системе координат.

Если на пластине имеются источники тепла, то стационарное распределение температур в ней будет описываться уравнением Пуассона

.

Функция , определяется мощностью источников тепла, распределенных в пластине.

Для того чтобы из бесконечного множества решений данных УЧП выделить решение, описывающее реальное распределение температур необходимы дополнительные ограничения.

Так как эллиптические УЧП соответствуют физическим явлениям, не зависящим от времени, то задачи для эллиптических УЧП не имеют начальных условий. Для них задаются только граничные условия, характеризующие состояние границы пластины.

Основные типы ГУ:

1) ‑ задается температура в каждой точки границы пластины;

2) ‑ задается поток тепла через каждую точку границы пластины.

Эллиптическое УЧП вместе с первым ГУ называется задачей Дирихле, а вместе со вторым ГУ задачей Неймана.

2.4.4 Требования к начальным и граничным условиям и правым частям учп

При решении задач для уравнений математической физики в дальнейшем будут использоваться операции:

1) почленное дифференцирование функциональных рядов;

2) почленное интегрирование функциональных рядов;

3) разложение функций в ряд Фурье.

Как известно, для выполнения данных операций должен быть выполнен ряд условий.

Можно показать, что операции 1)-3) могут использоваться, если на НУ, ГУ и на правые части УЧП будут налагаться некоторые условия. При решении задач будем считать, что данные условия выполняются. В конце рассмотрения каждой задачи будем указывать при выполнении каких требований к НУ, ГУ и на правые части УЧП полученное решение будет удовлетворять и УЧП, и НУ, и ГУ.

3 Гиперболические учп

3.1 Задача Коши для бесконечной струны

3.1.1 Решение задачи Коши методом Даламбера

Задача Коши для свободных колебаний бесконечной струны имеет вид:

УЧП: ;

НУ: ;

.

1. Приведем УЧП к каноническому виду. Здесь: , и . Составим и решим уравнение характеристик

,

.

Введя замену , получим квадратное уравнение . Решив которое, получим два действительных корня .

Таким образом, получаем два ОДУ:

, .

Так как , то и ‑ общий интеграл первого ОДУ.

Из будем иметь, что и ‑ общий интеграл второго ОДУ.

Перейдем к новым переменным:

, .

Приведем данное уравнение к каноническому виду.

Найдем частные производные , , и :

1) ;

2) ;

3)

►Так как предполагается, что функция имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то тогда .◄

;

4)

.

Подставим полученные частные производные в данное уравнение:

,

‑ канонический вид данного УЧП.

Найдем функцию с помощью двух последовательных интегрирований:

1) ;

2) .

Здесь и ‑ произвольные функции.

2. Вернемся к старым переменным

.

3. Найдем функции и , используя НУ.

Используем первое начальное условие :

.

Отсюда получаем уравнение

.

Используем второе начальное условие :

,

.

Отсюда получаем уравнение

.

Заменим обозначение для аргумента и проинтегрируем полученное уравнение от до :

,

.

Используем в первом определенном интеграле формулу Ньютона-Лейбница.

,

.

Введем обозначение . Тогда:

, .

Таким образом, получили систему уравнений

Решив которую, будем иметь:

1) ;

2) .

Тогда решение задачи Коши имеет вид

►Поменяем пределы интегрирования в первом интеграле.◄

►Объединим два определенных интеграла в один по формуле

.◄

.

Получили формулу Даламбера для решения задачи Коши для свободных колебаний бесконечной струны.

Можно показать [6, с. 52], что полученный результат имеет место, если функция является дважды непрерывно дифференцируемой, а функция ‑ непрерывно дифференцируемой на всей числовой прямой.