2.4 Простейшие виды задач для учп
2.4.1 Задачи для гиперболических учп
Пусть функция описывает движение струны. Когда струна неподвижна, будем считать, что она совпадает с осью . Величина является расстоянием от точки струны с абсциссой до оси в момент времени . В данном случае функция будет удовлетворять УЧП
.
Здесь:
‑ коэффициент, зависящий от свойств
струны, а функция
,
определяется распределенной внешней
силой действующей на струну.
Как известно, УЧП имеет, как правило, бесконечно много решений. Для того чтобы из них выделить решение, описывающее реальный процесс, необходимы дополнительные ограничения. Ограничения бывают двух типов начальные условия (НУ) и граничные условия (ГУ).
Начальные условия характеризуют
состояние струны в момент начала ее
колебаний. Как правило, начало колебаний
соответствует
.
Для гиперболических УЧП задаются два
типа НУ:
1) НУ
задает положение всех точек струны в
начальный момент времени;
2) НУ
задает начальную скорость точек струны.
Граничные условия характеризуют состояние концов струны в течение всего времени, когда рассматривается движение струны. Основные типы ГУ:
1)
‑ задается закон движения левого
конца струны;
2)
‑ задается закон изменения силы,
действующей на левый конец струны;
3)
‑ упругое закрепление левого конца
струны.
Частным случаем пункта 1) является ГУ
‑ неподвижное закрепление конца
струны.
Частным случаем пункта 2) является ГУ
‑ закрепление конца струны с помощью
невесомой втулки, которая может свободно
перемещаться без трения по вертикальному
стержню.
Если струна бесконечна в обе стороны, то задача для нее не будет содержать ГУ. В данном случае она будет состоять из УЧП и НУ. Такие задачи будем называть задачами Коши.
Для случая вынужденных колебаний бесконечной струны задача Коши будет иметь вид:
УЧП:
;
НУ:
;
.
Если струна конечна, то для однозначного задания закона движения точек струны необходимы еще ГУ. В данном случае будем иметь смешанную задачу, то есть задачу, состоящую из УЧП, НУ и ГУ.
Например, задача для свободных колебаний конечной струны, с жестко закрепленным левым концом и с втулкой на правом конце будет иметь вид:
УЧП:
;
НУ:
;
;
ГУ:
;
.
2.4.2 Задачи для параболических учп
Пусть функция описывает распределение температур в тонком стержне. Величина является температурой точки стержня с абсциссой в момент времени . В данном случае функция будет удовлетворять УЧП
.
Здесь: ‑ коэффициент, зависящий от свойств стержня, а функция определяется мощностью источников тепла распределенных по стержню.
Для того чтобы из бесконечного множества решений данного УЧП выделить решение, описывающее реальный процесс, здесь также необходимы дополнительные ограничения: начальные условия и граничные условия.
Для параболических УЧП задается НУ только одного типа. Начальное условие задает температуру всех точек стержня в начальный момент времени.
Граничные условия характеризуют состояние концов стержня в течение всего времени, когда рассматривается процесс изменения температур точек стержня. Основные типы ГУ:
1) ‑ задается закон изменения температуры на левом конце стержня;
2) ‑ задается закон изменения теплового потока через левый конец стержня;
3) ‑ теплообмен левого конца стержня с окружающей средой, имеющей нулевую температуру.
Частным случаем пункта 1) является ГУ
‑ поддержание на левом конце стержня
постоянной температуры.
Частным случаем пункта 2) является ГУ ‑ теплоизолированный левый конец стержня.
Если стержень бесконечен в обе стороны, то задача для него не будет содержать ГУ. В данном случае она будет состоять из УЧП и НУ. Такие задачи будем называть задачами Коши.
Для случая бесконечного стержня с источниками тепла задача Коши будет иметь вид:
УЧП: ;
НУ: .
Если стержень конечен, то для однозначного задания закона изменения температур всех его точек необходимы еще ГУ. В данном случае будем иметь смешанную задачу, то есть задачу, состоящую из УЧП, НУ и ГУ.
Например, задача для конечного стержня без источников тепла, для случая когда на левом конце постоянно поддерживается нулевая температура, а правый конец теплоизолирован будет иметь вид:
УЧП:
;
НУ: ;
ГУ: ;
.