2.2 Типы линейных (квазилинейных) учп второго порядка
Пусть дано линейное (квазилинейное) УЧП второго порядка. Введем обозначение
.
Определение. Линейное (квазилинейное)
УЧП второго порядка называется на
множестве
:
1) гиперболическим, если на множестве
выполняется неравенство
;
2) параболическим, если на множестве
выполняется равенство
;
3) эллиптическим, если на множестве
выполняется неравенство
.
Задача. Определить тип УЧП
.
Решение.
Найдем величину
.
В данном случае имеем:
,
и
.
Тогда
.
В точках параболы
(рисунок 3) имеем
.
Здесь уравнение является параболическим.
Во внутренних точках параболы имеем . Здесь уравнение является эллиптическим.
Во внешних точках параболы . Здесь уравнение является гиперболическим.
К линейным УЧП второго порядка приводит ряд задач физического содержания:
1) гиперболические УЧП: колебания различных систем, распространение волн.
2) параболические УЧП: распространение тепла, диффузия;
3) эллиптические УЧП: различные установившиеся явления (стационарное распределение температуры в телах, распределение электрического потенциала).
Рисунок 3
2.3 Приведение линейных (квазилинейных) учп второго порядка к каноническому виду
Определение. Каноническим (простейшим)
видом гиперболического УЧП называется
УЧП вида
.
Определение. Каноническим видом
параболического УЧП называется УЧП
вида
.
Определение. Каноническим видом
эллиптического УЧП называется УЧП вида
.
Пусть имеется квазилинейное УЧП
. (1)
Для преобразования его к каноническому
виду введем замену переменных вида
и
.
Здесь функции
и
предполагаются непрерывными вместе со
своими частными производными до второго
порядка включительно. Кроме того,
.
Требование неравенства нулю якобиана
обусловлено необходимостью возможности
выражения переменных
и
через переменные
и
.
Используем формулу для производной сложной функции.
►Формула для частной производной сложной функции
Пусть даны функции
,
,
.
Тогда
.
◄
Получим:
1)
;
2)
;
3)
►Так как функция
является решением УЧП второго порядка,
то она предполагается непрерывной
вместе со своими частными производными
до второго порядка включительно, и тогда
верно равенство
.◄
.
4)
.
5)
.
Подставив результаты пунктов 1)-5) в УЧП (1), будем иметь
.
После упрощения получим
.
Введем обозначения:
1)
;
2)
;
3)
.
После замены переменных мы получили УЧП
. (2)
Такая замена не меняет тип уравнения. Докажем это.
►После раскрытия скобок и разложения на множители получим◄
.
Так как
,
то
.
Тогда
и
имеют одинаковые знаки. Следовательно,
после замены переменных тип УЧП не
изменится.
Теперь рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)
. (3)
Пусть
его общий интеграл, определяющий неявную
функцию
.
тогда согласно теореме о производной
неявной функции будем иметь
.
Подставим полученное выражение в уравнение (3).
,
,
. (4)
Таким образом, если
‑ общий интеграл уравнения (3), то
функция
‑ решение УЧП первого порядка (4).
Уравнение (3) будем называть уравнением характеристик.
Рассмотрим приведение гиперболического
УЧП к его каноническому виду
.
Очевидно, что в данном случае в уравнении
(1) надо обнулить коэффициенты
и
.
Для этого введем замены
и
,
такие, чтобы функции
и
являлись решениями УЧП (4). Тогда
и
должны быть общими интегралами уравнения
характеристик
.
Данное уравнение является квадратным
относительно производной
.
Решим его
,
.
Так как рассматривается приведение к
каноническому виду гиперболического
УЧП, то тогда
и мы получаем два ОДУ:
,
.
Решив которые, мы получим два общих интеграла и . По ним образуем замены переменных вида и .
Задача. Привести УЧП
к каноническому виду.
Решение.
1. Так как данное уравнение имеет вид
,
то тогда оно является линейным уравнением с частными производными второго порядка.
В данном случае
,
,
.
Определим тип данного уравнения:
.
Так как , то уравнение является гиперболическим.
2. Составим и решим уравнение характеристик
,
.
Введя замену
,
получим квадратное уравнение
.
Решив которое, получим два действительных
корня
и
.
Таким образом, получаем два ОДУ:
,
.
Так как
,
то
и
‑ общий интеграл первого ОДУ.
Так как
,
то
и
,
‑ общий интеграл второго ОДУ.
3. Перейдем к новым переменным:
,
.
4. Приведем данное уравнение к каноническому виду.
Найдем частные производные
,
,
,
и
:
1)
;
2)
;
3)
►Так как предполагается, что функция
имеет все непрерывные частные производные
до второго порядка включительно, то
тогда
.◄
;
4)
;
5)
.
Подставим полученные частные производные в данное уравнение:
,
,
,
.
Получили канонический вид данного уравнения.
Рассмотрим приведение параболического
УЧП к его каноническому виду
.
Очевидно, что в данном случае в уравнении
(1) надо обнулить коэффициенты
и
.
Рассмотрим для данного случая уравнение характеристик
.
Данное уравнение является квадратным относительно производной . Решим его
, .
Так как рассматривается приведение к
каноническому виду параболического
УЧП, то тогда
и мы получаем одно ОДУ:
.
Решив которое, мы получим общий интеграл . По которому образуем замену . В качестве можно взять любую непрерывную функцию, имеющую все непрерывные частные производные до второго порядка включительно, для которой выполняется
.
Для упрощения выкладок целесообразно
брать
или
.
Такая замена, очевидно, обнулит коэффициент .
Так как замена переменных не меняет тип
УЧП, то и после замены оно останется
параболическим. Тогда
.
С учетом
,
получаем
.
Получили, что данная замена приведет параболическое УЧП к каноническому виду.
Задача. Привести уравнение
к каноническому виду.
Решение.
1. Так как данное уравнение имеет вид
,
то тогда оно является линейным уравнением с частными производными второго порядка.
В данном случае
,
,
.
Определим тип данного уравнения
.
Так как
,
то уравнение является параболическим.
2. Составим и решим уравнение характеристик
,
.
Введя замену
,
получим квадратное уравнение
.
Решив которое, получим корень второй
кратности
.
Так как
,
то
и
‑ единственный общий интеграл
уравнения характеристик.
3. Перейдем к новым переменным:
.
В качестве переменной
можно взять любую функцию, линейно
независимую с функцией
и удовлетворяющую условию
.
Для упрощения преобразований возьмем
.
4. Приведем данное уравнение к каноническому виду.
Найдем частные производные , , , и :
1)
;
2)
;
3)
►Так как предполагается, что функция имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то тогда .◄
.
4)
.
5)
.
Подставим полученные частные производные в данное уравнение:
,
.
Получили канонический вид данного уравнения.
Рассмотрим приведение эллиптического
УЧП к его каноническому виду
.
Очевидно, что в данном случае в уравнении
(1) надо обнулить коэффициент
,
а коэффициенты
и
сделать тождественно равными.
Рассмотрим для данного случая уравнение характеристик
.
Данное уравнение является квадратным относительно производной . Решим его
, .
Так как рассматривается приведение к
каноническому виду эллиптического УЧП,
то тогда
и
.
Таким образом, имеем два ОДУ:
,
.
Пусть
‑ общий интеграл, например, первого
ОДУ.
Замена
обнулит коэффициент
:
. (5)
Так как функция
является комплекснозначной, то ее можно
представить в виде
.
Подставив данное представление в (5), получим:
,
.
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, будем иметь
.
Используем соотношения:
1) ;
2) ;
3) .
Тогда получим равенство
.
Из которого следует, что
и
.
Таким образом, замена и приведет эллиптическое УЧП к каноническому виду.
Задача. Привести УЧП
к каноническому виду.
Решение.
1. Так как данное уравнение имеет вид
,
то тогда оно является линейным уравнением с частными производными второго порядка.
В данном случае
,
,
.
Определим тип данного уравнения:
.
Так как , то уравнение является эллиптическим.
2. Составим и решим уравнение характеристик
,
.
Введя замену
,
получим квадратное уравнение
.
Решив которое, получим два комплексно
сопряженных корня
.
Таким образом, получаем два ОДУ:
,
.
Найдем общий интеграл, например, первого ОДУ.
Так как
,
то
и
‑ общий интеграл первого ОДУ.
Выделим из левой части действительную и мнимую части.
.
3. Перейдем к новым переменным:
,
.
4. Приведем данное уравнение к каноническому виду.
Найдем частные производные , , , и :
1)
;
2)
;
3)
►Так как предполагается, что функция имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то тогда .◄
;
4)
;
5)
.
Подставим полученные частные производные в данное уравнение:
,
,
.
Получили канонический вид данного уравнения.