1.2 Определение дифференциального уравнения с частными производными
Определение. Дифференциальным уравнением с частными производными (УЧП) называется уравнение, содержащее, хотя бы одну частную производную неизвестной функции.
Примеры:
1)
‑ уравнение Лапласа (оно описывает
различные стационарные явления);
2)
‑ уравнение вынужденных колебаний
струны;
3)
‑ уравнение Трикоми (газовая динамика).
Определение. Порядок самой старшей производной от неизвестной функции называется порядком уравнения.
Пример:
‑ УЧП третьего порядка.
1.3 Решение учп
Определение. Решением данного УЧП
n-го порядка называется
функция
,
удовлетворяющая требованиям:
1) функция непрерывна и имеет все непрерывные частные производные до порядка n включительно;
2) при подстановке функции в данное УЧП получается верное тождество.
Задача. Найти все решения УЧП
.
Здесь неизвестная функция
является функцией двух переменных
.
Решение.
Так как частная производная по
неизвестной функции
равна
,
то тогда
представляет собой неопределенный
интеграл от функции
по переменной
:
►Неопределенный интеграл содержит
произвольную постоянную. Ею может быть
либо число, либо любое выражение, не
зависящее от переменной интегрирования.
В данном случае произвольная постоянная
не зависит от
,
но она может зависеть от
.
Таким образом, произвольной постоянной
является функция от
.◄
.
Так как данное УЧП имеет первый порядок, то его решение должно быть непрерывной функцией, имеющей все непрерывные частные производные первого порядка. Тогда решением будет являться функция
,
где,
‑ произвольная непрерывно
дифференцируемая функция.
Замечание. Полученное решение вбирает в себя все частные решения. Такие решения УЧП в дальнейшем будем называть общими. В отличие от общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений они содержат не произвольные постоянные, а произвольные функции. Количество произвольных функций совпадает с порядком УЧП.
2 Линейные учп второго порядка их типы и задачи для них
2.1 Определение линейного учп второго порядка и его свойства
Определение. Квазилинейным УЧП второго порядка для функций двух переменных будем называть уравнение
.
Здесь
,
и
‑ известные непрерывные функции двух
переменных
и
.
Определение. Линейным УЧП второго порядка для функций двух переменных будем называть уравнение
.
Здесь
,
,
,
,
,
,
‑ известные непрерывные функции двух
переменных
и
.
Если правая часть уравнения тождественно равна нулю, то тогда уравнение будем называть однородным, а в противном случае – неоднородным.
Линейные УЧП имеют те же свойства, что линейные ОДУ. Приведем их.
1. Пусть
и
‑ решения линейного однородного УЧП,
то тогда функция
также будет являться решением данного
УЧП.
2. Пусть
‑ решение линейного однородного УЧП,
то тогда функция
также будет являться решением данного
УЧП. Здесь
.
3. Пусть
‑ решение линейного неоднородного
УЧП, а
‑ решение соответствующего однородного
УЧП, то тогда функция
будет являться решением неоднородного
УЧП.
4. Пусть
и
‑ решения линейного неоднородного
УЧП, то тогда функция
будет являться решением соответствующего
однородного УЧП.
5. Пусть
‑ решение УЧП
,
а
‑ решение УЧП
.
Тогда функция
будет являться решением УЧП
.