Введение
Данное учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлению подготовки 220700.62 – «Автоматизация технологических процессов и производств». Оно представляет собой лекционный курс с примерами и задачами по дисциплине «Уравнения математической физики».
Несмотря на то, что для технических направлений по данному разделу высшей математики имеется ряд отлично зарекомендовавших себя учебников (например [1-5]) написание настоящего пособия представляется актуальным для выполнения следующих требований:
1) максимально точное соответствие текста пособия рабочей программе;
2) написание пособия как составной части комплекса по данной дисциплине, включающего в себя: курс лекций, тесты для контроля усвоения материала, методические указания для выполнения контрольной работы.
Настоящие учебное пособие может быть использовано студентами и других математических, физических и инженерных направлений подготовки.
1 Общие сведения об уравнениях с частными производными
1.1 Задача, приводящая к уравнению с частными производными
Рассмотрим колебания струны, на которую
действует распределенная сила. Движение
точек струны будем описывать с помощью
функции
.
Рисунок 1
Когда струна неподвижна, будем считать,
что она совпадает с осью
.
Величина
является расстоянием от точки струны
с абсциссой
до оси в момент времени
.
Рассмотрим (рисунок 2) малый фрагмент струны в момент времени . Будем считать, что он движется как единое целое.
Пусть на струну действует линейно
распределенная сила с линейной плотностью
.
Пусть эта сила направлена вверх. Тогда
на рассматриваемый фрагмент струны
будет действовать сила
.
Запишем для фрагмента струны второй закон Ньютона в векторной форме:
.
Перейдем к проекциям на ось
:
.
Используем механический смысл второй
производной
:
.
Рисунок 2
Предположим, что сила натяжения струны
примерно постоянна по всей ее длине,
тогда
и
,
.
Пусть во время колебаний струна изгибается
«несильно», тогда углы
,
малы. Для малых углов, выраженных в
радианах, имеем приближенное двойное
равенство
.
Тогда получим:
.
Используя геометрический смысл
производной, будем иметь
и
.
Тогда получим:
.
Разделим данное уравнение на массу
фрагмента струны
.
Здесь:
‑ плотность струны,
‑ ее объем, а
‑ площадь поперечного сечения струны.
.
При малых
имеем
.
Тогда:
.
Используя, что
,
получим:
,
.
Введя обозначения
,
,
будем иметь уравнение
,
описывающее вынужденные колебания струны.
В случае отсутствия внешней силы, получим уравнение
,
описывающее свободные колебания струны.
Замечание 1. Из полученных уравнений и требуется найти неизвестную функцию . Из-за того, что эти уравнения содержат частные производные от неизвестной функции их и называют дифференциальными уравнениями с частными производными.
Замечание 2. В дальнейшем с целью упрощения обозначений частные производные будем писать без штрихов.