2.9 Задача 9. Расчет сжатых стержней на устойчивость

 

Стержень (материал – сталь Cт.3) длиной l сжимается силой F (рисунок 17). Требуется: а) из расчета на устойчивость по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения определить размеры поперечного сечения стержня, приняв [s] = 160 Мпа; б) определить значения критической силы F_кр и коэффициента запаса устойчивости n_у.

Данные взять из таблицы 9.

Таблица 9

Вари-ант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F, кН	100	150	200	250	300	400	500	600	700	800
l, м	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4

 

Указания. Задача 9 является задачей на тему «Продольный изгиб» (или «Расчет сжатых стержней на устойчивость»). Поскольку рассматриваемая задача является задачей проектного расчета, то из условия устойчивости следует выразить геометрический фактор поперечного сечения. Но поскольку коэффициент снижения основного допускаемого напряжения в свою очередь зависит от размеров и формы поперечного сечения, то приходится, задаваясь его значениями, искать решение с помощью последовательных приближений.

Пример 9. Подобрать из условия устойчивости диаметр стойки круглого поперечного сечения, нагруженной, как показано на рисунке 18 а. Определить значения критической силы F_кр и коэффициента запаса устойчивости n_у.

Дано: F = 30 кН; l = 2,4 м; [s] = 160 МПа (материал стойки – сталь Ст.3).

Решение. Условие устойчивости для сжатых стержней имеет вид

,

где - коэффициент снижения основного допускаемого напряжения;

[s] - основное допускаемое напряжение на сжатие;

A – площадь поперечного сечения стержня.

Первое приближение. Зададимся значением ₁ = 0,5. Тогда из условия устойчивости

А = м².

Так как поперечное сечение стержня представляет собой круг, то его площадь

;

отсюда

м.

 

Радиус инерции поперечного сечения

,

где I_min- минимальный осевой момент инерции сечения.

Для круга

,

так что

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя числовые значения, получаем

м.

Гибкость стержня

,

где - коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа его закрепления.

Для стержня с жесткой заделкой на одном конце и шарнирным закреплением на другом =0,7.

Тогда

.

Обращаясь к таблице X.I [4, с. 272], находим, что для значений гибкости, больших 200, значения не приводятся. Следовательно, нужно задаться другим (существенно меньшим) значением и повторить расчет.

Второе приближение. Зададимся значением = 0,25 и повторим расчет. Тогда

м²,

= м,

м,

.

По таблице X.I [4] имеем для стали Ст.3

при =150 = 0,32,

при =160 = 0,29.

Находим с помощью линейной интерполяции (рисунок 18 б) значение при :

.

Очевидно, что значение должно лежать между и .

Третье приближение. Зададимся значением

.

Тогда

м²,

= м,

м,

.

По таблице X.I [4] имеем

при =160 = 0,29,

при =170 = 0,26.

 

Находим с помощью линейной интерполяции значение при

Как видно, значения и близки. Проверим, достигнута ли сходимость расчета, для чего сопоставим расчетные напряжения сжатия с допускаемыми напряжениями по условию устойчивости [ _у]. Имеем

МПа,

МПа.

Недогрузка составляет

,

что вполне приемлемо.

Так как в рассматриваемом случае = 163,5 > , значение которого для стали Ст.3 равно 100, критическую силу определяем по формуле Эйлера (в противном случае следовало бы воспользоваться эмпирической формулой Ясинского)

или .

Подставляя числовые значения, получаем

0,0488 МН = 48,8 кН.

Коэффициент запаса устойчивости определяем, как

.

Список литературы

 

1. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников энергетических, горных… специальностей вузов /Под ред. С.М.Тарга. – М.: Высш. шк., 1988.

2. Прикладная механика: Методические указания и контрольные задания /Под ред. П.Г.Гузенкова. – М.: Высш. шк., 1982.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высш. шк., 1986.

4. Степин П.А. Сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 1988.

5. Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов. – М.: Высш. шк., 1994.

6. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов /Миролюбов И.Н. и др. – М.: Высш.шк., 1985.

7. Степин П.А. Сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 1988.

8. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 2003.

9. Аркуша А.И. Техническая механика. Руководство к решению задач по теоретической механике. - М.: Высш. шк., 2002.

10. Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов /Ф.З.Алмаметов, С.И.Арсеньев, С.А.Енгалычев и др. – М.: Высш.шк., 1992.

 

 

Сводный план 2006 г., поз.105

 

 

 

 

Алмас Даменович Динасылов

 

 

МЕХАНИКА

Методические указания и задания к расчетно-графическим работам для студентов специальностей 050718 – Электроэнергетика, 050702 – Автоматизация и управление, 050717 – Теплоэнергетика

 

 

 

 

 

 

Подписано в печать . . 2006 г. Бумага типографская N 1

Тираж 150 экз. Заказ

Формат 70х100 1/16 Цена 105 тг.

Объем 2,6 уч.-изд. л.

 

 

 

 

 

Копировально-множительная лаборатория

Алматинского института энергетики и связи