Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національний університет „Львівська політехніка”

Кафедра СКС

Лабораторний практикум

з дисципліни

"Дискретна математика"

Навчальний посібник

для студентів напрямку 6.0915 “Комп’ютерна інженерія”

Львів

2013

1. Теоретична частина

1.1. Множини

Множини є основними об’єктами вивчення у дискретній математиці. Множина - це невпорядкована сукупність об’єктів, які називають елементами множини. Елементами можна вважати довільні об’єкти, які можуть бути названі або означені за допомогою правила, що задає належність до множини.

Як правило, множини позначають великими буквами.

Прикладе множин:

• множина всіх трамвайних зупинок міста Львова;

• множина символів клавіатури ЕОМ;

• множина зарезервованих слів мови Паскаль;

• А = {х ǀ х - ціле число і 7 < х < 13};

• N = {1, 2, 5, 9, 14, 13} - множина задана перечисленням її елементів.

Для будь-якого елемента можна встановити, чи належить він множині . Запис означає приналежність елемента до множини , а символ « » - це знак приналежності деякого елемента до множини .

Запис означає, що елемент не належить до множини .

1.2. Операції над множинами

Об’єднанням множин і (позначається ) називається множина

.

Перетином множин і (позначається ) називається множина

.

Різницею множин і (позначається ) називається множина

.

Симетрична різниця множин і (позначається ) задається як

Порожня множина (позначається Ø) - це множина, яка володіє властивістю для будь-якого .

Означення 1. Множина є підмножиною множини ) тоді і тільки тоді, якщо для будь-якого випливає, що .

Нехай задані дві множини і . Побудуємо всі можливі пари такі, що , . Отримана таким шляхом множина пар називається прямим добутком множин і і позначається . Будь-яка підмножина множини називається відношенням На . Якщо , то будемо говорити, що « знаходиться у відношенні » і записувати .

Як правило, у зв’язку з прийнятим способом запису елементи множини перераховуються у деякому порядку, хоча можливо, що цей порядок слідування не визначається самою множиною. Якщо ж елементи множини певним чином впорядковані, то для кожного з них можна задати порядковий номер (індекс), а саму множину назвати індексованою. Індексація на множині - це відношення де кожному ставиться у взаємно однозначне співвідношення . Як правило, індекси вибирають так, щоб для будь-якого початкового відрізка натурального ряду у множині знайшлись елементи з індексами цього відрізка, тобто для скінченої множини з числом елементів . У цьому випадку замість елементів , що мають довільну природу, можна посилатись на їх індекси - натуральні числа, тобто однорідні об’єкти, які можна порівнювати між собою.

Множину можна зберігати в пам’яті як масив. Типові операції над множинами - об’єднання, перетин, перевірка приналежності елемента множині - реалізуються з допомогою засобів алгоритмічної мови або процедур обробки масивів (в алгоритмічних мовах Паскаль та Модула передбачені дані типу множина (SET) та дії над ними).

Можливий ще один метод зображення множин, при якому для кожного потенціально допустимого елемента вказується, належить він даній множині чи ні. Якщо множину всіх потенціально допустимих елементів пронумерувати індексами від , то кожній підмножині поставимо у відповідність вектор логічних змінних довжиною тобто вектор змінних, що приймають тільки одне з' двох значень: true або false. Необхідно зауважити, що зображення множини у вигляді вектора визначає на ній порядок слідування, а різний порядок у послідовності переліку елементів множини приводить до різних відношень впорядкованості на множині. Частіше всього використовується природньо виникаючий порядок переліку елементів. Для прикладу, порядок може задаватись часом включення елементів у множину.

Означення 2. Відношення називається:

1. рефлексивним, якщо для всіх ;

2. симетричним, якщо з випливає для всіх ;

3. антисиметричним, якщо з і випливає, що для всіх ;

4. транзитивним, якщо з і випливає для всіх .

Приклад. Відношення , визначене для множини всіх дійсних чисел , буде рефлексивним ( ), антисиметричним (з двох нерівностей впливає, що ) і транзитивним ( випливає, що ).

Відношення , визначене на множині можна задавати квадратною матрицею , кожний рядок і стовпчик якої відповідають одному елементу множини . Якщо елемент знаходиться у відношенні до елемента , то елемент матриці буде приймати значення true, у протилежному випадку false. В ряді реалізацій приймають замість значення true - 1, a false - 0.

Приклад. Відношення « ділить без залишку», задане на множині

можна зобразити з допомогою матриці

	2	3	5	6	12	15	30
2	1	0	0	1	1	0	1
3	0	1	0	1	1	1	1
5	0	0	1	0	0	1	1
6	0	0	0	1	1	0	1
12	0	0	0	1	1	0	0
15	0	0	0	0	0	1	1
30	0	0	0	0	0	0	1

З допомогою квадратної матриці розмірності , котра задає деяке бінарне відношення на множині потужності , легко перевірити основні властивості цього відношення. Так, для перевірки рефлексивності достатньо переконатись у тому, що всі діагональні елементи матриці дорівнюють 1. Відповідну процедуру можна побудувати на будь-якій алгоритмічній мові.

Означення 3. Рефлексивне, симетричне і транзитивне відношення на множині називається відношенням еквівалентності. Рефлексивне, антисиметричне і транзитивне відношення на множині називається відношенням часткового порядку.

Приклад. Відношення рівності на множині дійсних чисел є відношенням еквівалентності. Дійсно, це відношення:

1. рефлексивне, бо ;

2. симетричне, тому що з випливає, що це один і той самий елемент множини ;

3. транзитивне, бо з випливає, що

Якщо відношення часткового порядку є обов’язково визначене для кожної з пар або множини , то кажуть, що на встановлено відношення повного порядку.

У множині , на якій встановлено відношення повного порядку, можна визначити мінімальний і максимальний елементи. Мінімальним (максимальним) елементом множини , на якій задано відношення повного порядку , називається елемент такий, що ні для якого , не має місця

Приклад. На множині з натуральних чисел можна ввести відношення повного порядку « не більше ». Мінімальним елементом цієї множини буде елемент 1, а максимальним - елемент .

За заданим на деякій множині відношенням можна визначити відношення таким чином: тоді і тільки тоді, якщо існує таке , що і для будь-яких .

У загальному випадку -ту степінь відношення на множині можна задати рекурсивно.

Означення 4.

1. тоді і тільки тоді, коли ;

2. для тоді і тільки тоді, коли існує таке, що і для .

Як для заданого на деякій множині відношення можна визначити відношення таке, що володіє додатковими властивостями, зокрема - транзитивністю? Таким буде відношення тоді і тільки тоді і якщо знайдеться таке , що для , які належать даній множині.

Відношення називається транзитивним замиканням відношення на множині .

Для транзитивного замикання Має місце теорема:

Теорема 1. Транзитивне замикання деякого відношення є відношення транзитивне. Якщо - будь-яке транзитивне відношення, таке, що , тоді і тобто - найменше транзитивне відношення, яке включає .

Для знаходження матриці транзитивного замикання відношення на множині зі скінченою кількістю елементів можна скористуватись теоремою:

Теорема 2. Нехай - матриця, що задає відношення на множині , яка містить елементів. Тоді матриця

задає транзитивне замикання відношення .