Задания на 4 баллов:

1). Разложите на множители: (a + b)³ – (a – b)³ – 2b.

2). Разложите на множители: (х – у)³ + (х + у)³ – 2х.

3). Разложите на множители: а³ + а²х – 3ах + 9х + 27.

4). Разложите на множители: 4х² – 4х³ + 12х²у – 9у² – 9ху².

5). Упростите выражение: .

6). Упростите выражение:

7). Упростите выражение :

8). Упростите выражение:

9). Вычислите:

10). Вычислите: .

11). Вычислите:

12). Вычислите:

13). Вычислите:

14). Вычислите:

15). Вычислите:

16). Вычислите:

17). Вычислите :

18). Вычислите:

19). Решите уравнение:

20). Решите уравнение:

21). Найдите все пары чисел (х; у), для каждой из которых значение выражения (у + х)² + 4у – 10х – 2ху + 29 равно нулю.

22). Найдите все пары чисел (х; у), для каждой из которых значение выражения (у – х)² + 4у + 2х + 2ху + 5 равно нулю.

23). Найдите наибольшее значение выражения 5х² + 4ху – 5у²_, если 2х – у = 1.

24). Найдите наибольшее значение выражения х² – 4ху + у², если х – у = 3.

25). Найдите наибольшее значение выражения –(2х – у – 1)² – (х + у – 2)² + 7. При каких значениях х и у это значение достигается?

26). Найдите наименьшее значение выражения (х + 2у – 3)² + (х – 2у + 1)² + 5. При каких значениях х и у это значение достигается?

27). Найдите значение выражения если

28). Найдите значение выражения если

29). Решите уравнение: (х² + 11х + 24)² + (х² + 10х + 16)² = 0.

30). Решите уравнение: (х² + 15х + 36)² + (х² + 6х – 72)² = 0.

31). График квадратичной функции проходит через точки К (4; 0), N (5; –1), Р (6; 0). Задайте функцию формулой и постройте ее график.

32). График квадратичной функции проходит через точки К (–1; 0), N (–2; –1), Р (–3; 0). Задайте функцию формулой и постройте ее график.

33). Постройте график функции При каких значениях р прямая у = р пересекает график данной функции в единственной точке?

34). Постройте график функции При каких значениях n прямая у = n пересекает график данной функции в единственной точке?

35). Постройте график функции При каких значениях а прямая у = а не имеет с построенным графиком ни одной общей точки?

36). Постройте график функции При каких значениях b прямая у = b не имеет с построенным графиком ни одной общей точки?

37). Изобразите множество всех точек (х, у) координатной плоскости 0ху, для каждой из которых

38). Изобразите множество всех точек (х, у) координатной плоскости 0ху, для каждой из которых

39). Найдите наибольшее значение функции

40). Найдите наименьшее значение функции

41). Найдите промежутки убывания функции

у = 5 – 4х + х², если х  2,

2х, если х < 2.

42). Найдите промежутки возрастания функции

у = 2 – 6х + х², если х  3,

–3х, если х < 3.

43). Из пункта М в пункт N, отстоящий от пункта М на 27 км, отправился пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 36 минут после этого навстречу ему из пункта N вышел другой пешеход со скоростью 3 км/ч. Найдите расстояние от пункта N до места их встречи.

44). Из пункта К в пункт Р, отстоящий от пункта К на 11 км, отправился пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 15 минут после этого навстречу ему из пункта Р вышел другой пешеход со скоростью 6 км/ч. Найдите расстояние от пункта Р до места их встречи.

45). Расстояние между пристанями С и D равно 18 км. Из пункта С в пункт D по течению реки отправился плот, а через 30 минут за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт D, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт С. К этому времени плот прошел 9 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

46). Расстояние между пристанями М и N равно 14 км. Из пункта М в пункт N по течению реки отправился плот, а через 44 минуты за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт N, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт М. К этому времени плот прошел 7 км. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость моторной лодки равна 18 км/ч.

47). Дмитрий и Петр могут покрасить забор за 3 часа. Петр и Андрей могут покрасить этот же забор за 6 часов, а Андрей и Дмитрий – за 4 часа. За какое время мальчики покрасят забор, работая втроем?

48). Наталья и Татьяна могут вымыть окно за 20 минут. Татьяна и Ирина могут вымыть это же окно за 15 минут, а Наталья и Валерия – за 12 минут. За какое время девочки вымоют окно, работая втроем?

49). Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты разной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе?

50). Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 12 кг раствора кислоты разной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе?

51). Найдите все значения а, при которых числа –6а²; а + 1 и 14 + 4а² являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).

52). Найдите все значения t, при которых числа 4t²; 5t + 10 и 12 – 6t² являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).

53). Найдите шестой и десятый члены геометрической прогрессии, если их сумма равна 16, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60.

54). Найдите седьмой и четырнадцатый члены геометрической прогрессии, если их сумма равна 21, а произведение десятого и одиннадцатого членов этой прогрессии равно 98.

55). Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность ее тридцатого и двадцать седьмого членов в 30 раз больше суммы двадцать шестого, двадцать седьмого и двадцать восьмого членов.

56). Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность ее шестнадцатого и тринадцатого членов в 12 раз больше суммы двенадцатого, тринадцатого и четырнадцатого членов.

57). Решите уравнение :

58). Решите уравнение:

59). Решите систему уравнений:

у⁴ + х⁴ = 17,

у² + х² – х²у² = 1.

60). Решите систему уравнений:

у⁴ + х⁴ = 2,

х²у² – у² – х² = –1.

61). Постройте график функции у = f (x),

г де f (x) = 2х – 1, если х  1,

2 – х, если –1  х < 1,

3х – 3, если х < –1.

Укажите множество значений функции.

62). Постройте график функции у = f (x),

г де f (x) = 2 – х, если х > 2,

если –2  х  2,

–2 – 2х, если х < –2.

Укажите множество значений функции.

63). Найдите наибольшее значение функции

64). Найдите наибольшее значение функции

65). При каких значениях k уравнение (k – 1)x² + 4 (k + 1)x + k – 4 = 0 имеет два отрицательных корня?

66). При каких значениях n уравнение (n + 1)x² – (4n + 6)x + n + 9 = 0 имеет два положительных корня?

67). Найдите наибольшее значение функции

68). Найдите наименьшее значение функции

69). Постройте график функции у =х² – 6х + 5 и найдите, при каких значениях t прямая у = t пересекает построенный график в трех точках.

70). Постройте график функции у =х² + 4х + 3 и найдите, при каких значениях m прямая у = m пересекает построенный график в трех точках.

71). Постройте график функции у = х² –2х. Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая у = а? (Для каждого случая укажите соответствующее значение а).

72). Постройте график функции у = –х² +4х. Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая у = b? (Для каждого случая укажите соответствующее значение b).

73). Постройте график функции у =х (4 + х). Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая у = m? (Для каждого случая укажите соответствующее значение m).

74). Постройте график функции у =х (х – 4). Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая у = а? (Для каждого случая укажите соответствующее значение а).

75). Найдите значения а, при которых прямая у = х + а пересекает график функции в двух точках.

76). Найдите значения b, при которых прямая у = х + b пересекает график функции в двух точках.

77). Найдите все отрицательные значения m, при которых прямая у = mx пересекает в двух различных точках ломаную, заданную условиями:

у = х – 5, если х  2,

– 1 – х, если х < 2.

78). Найдите все отрицательные значения n, при которых прямая у = nx пересекает в двух различных точках ломаную, заданную условиями:

у = х + 2, если х < –3,

– х – 4, если х  –3.

79). Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку (2; 0) и образует в первой четверти с осями координат треугольник, площадь которого равна 6.

80). Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку (0; 2) и образует в первой четверти с осями координат треугольник, площадь которого равна 10.

81). Найдите все значения m, при которых прямая у = mx пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями:

у = 2х + 6, если х < –2,

2, если –2  х  2,

2х – 2, если х > 2.

82). Найдите все значения t, при которых прямая у = tx пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями:

у = 3х + 8, если х < –3,

–1, если –3  х  3,

3х – 10, если х > 3.

83). Найдите значения а, при которых корень уравнения (а – х)  (2 – а) = 15 – 7а больше или равен 3.

84). Найдите значения k, при которых корень уравнения (k² – 1)  (х – 1) = 5 – 4k меньше или равен 0.

85). Найдите все значения b, при которых уравнение –х² + 2х + 5= 2b имеет ровно три различных корня.

86). Найдите все значения d, при которых уравнение 4 – 5х + х² = имеет ровно три различных корня.