Література:

1. Соколенко О. І. Вища математика: Підручник. - К.: Видавничий центр „Академія", 2003. - 432 с. (Альма-матер).

2. Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-х ч. - К.: КНЕУ, 2001. - 546 с.

3. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник . - К.: А.С.К., 2001.-648 с.

4. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. - Київ: ЦУЛ, 2002. - 400 с.

5. Л.І.Дюженкова, О.Ю.Дюженкова, Г.О.Михалін Вища математика. Приклади і задачі. - К: Видавничий центр „Академія" 2002 р.

6. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы.

7. М.І. Жалдак, Ю.С. Римський. Чисельні методи математики: посібник для самоосвіти вчителів. – К: Радянська школа, 1984 р.

Розділ 3 самостійна робота № 3

Тема: Елементи лінійної алгебри

Питання 1. Вектори та дії над ними.

Методичні вказівки:

Означення . Упорядкована множина п дійсних чисел називається п-вимірним вектором х і позначається х = ( ) або

Числа - називаються координатами вектора х. Число п називається розмірністю вектора х. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка називається транспонуванням вектора.

Означення: Множина всіх п –вимірних векторів називається п –вимірним простором і позначається .

Означення: Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

Означення: Вектор називається нульовим, якщо всі його координати рівні нулю.

Означення: Вектор називається протилежним до даного, якщо всі його координати протилежні числа до координат даного вектора.

Означення: Сумою двох векторів і називається вектор , координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:

.

Означення: Добутком числа на вектор називається вектор , координати якого дорівнюють добутку на відповідні координати вектора :

.

Означення: Вектори a і b називаються колінеарними, якщо їх відповідні координати пропорційні:

.

Властивості додавання векторів та множення числа на вектор

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Означення: Скалярним добутком двох векторів і називається число, що визначається сумою попарних добутків відповідних координат:

.

Існує теорема, яка говорить про те, що скалярний добуток векторів можна обчислити ще так:

, де - кут між векторами . Тоді

.

Із означення скалярного добутку випливають такі його властивості:

1. 

2. 

3. 

4. 

Означення: Два вектори, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаються взаємно ортогональними.

Нульовий вектор ортогональний до будь-якого вектора.

Розглянемо систему з п п-вимірних векторів (1).

Означення: Вектори називаються лінійно незалежними, якщо рівність (2) виконується лише при умові, що (3).

Якщо рівність (2) досягається тільки тоді, коли коефіцієнти не перетворюються одночасно в нуль, то вектори називаються лінійно залежними.

Якщо один з векторів нульовий, то ці вектори лінійно залежні, оскільки коефіцієнт при векторі може бути взятим ненульовим.

Властивості поняття лінійної залежності:

1. Якщо серед векторів (1) є нульовий, то ці вектори лінійно залежні;

2. Якщо вектори (1) лінійно залежні, то після додавання до них одного чи кількох нових векторів, дістанемо лінійно залежну систему векторів;

3. Якщо вектори (1) лінійно незалежні, то після відкидання одного чи кількох векторів, дістанемо знову лінійно незалежні вектори;

4. Вектори (1) лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших;

5. Якщо два ненульові двовимірні вектори лінійно залежні, то вони колінеарні і навпаки;

6. Якщо три ненульові тривимірні вектори лінійно залежні, то вони компланарні і навпаки;

7. Чотири ( і більше) тривимірних вектори завжди лінійно залежні.

Поняття лінійної залежності має досить глибокий зміст і широко використовується в математиці. Не вдаючись до подробиць, наведемо такі застосування цього поняття.

• Всяка упорядкована сукупність лінійно незалежних векторів, через які лінійно виражається довільний вектор простору, називається базисом цього простору.

• Максимальне число лінійно незалежних векторів деякого простору називається його розмірністю. Розмірність простору дорівнює числу базисних векторів цього простору.

Якщо вектори складають базис і вектор розкладений за цим базисом, тобто , то числа називаються координатами вектора в даному базисі. Кажуть також, що вектор лінійно виражається через вектори або є їх лінійною комбінацією.