Тема 13.Линейное программирование

Линейное программирование - это мощный математический прием, который может применяться для решения проблем, связанных с рационированием ограниченным ресурсов при множестве альтернативных вариантов таким образом, чтобы получить оптимальные выгоды. Он позволяет отыскать реальную комбинацию конечных результатов, при которой заданная целевая функция будет максимальной или минимальной. Целевая функция отражает в количественном виде указанную выше цель и обычно используется в форме получения максимальной прибыли или обеспечения минимальных издержек. Линейное программирование может использоваться в том случае, если анализируемые зависимости предполагаются линейными и когда оптимальное решение действительно существует.

Чтобы ситуация соответствовала допущению о линейности, следует предложить, что вклад в прибыль на единицу по каждому виду продукции и использование ресурсов на единицу являются одинаковым, независимо от количества выпускаемой и реализуемой продукции в рассматриваемом диапазоне. Также следует исходить из предположения, что произведенные единицы продукции и распределяемые ресурсы можно делить до бесконечности. Это означает, что оптимальный план, в котором предусматривается выпуск 94,38 ед., является возможным. Однако на практике нам придется интерпретировать такой план как производство, равное 94 ед.

Применим теперь этот прием к задаче, по казан ной в таблице 1, где к ограничению на труд добавлены ограничения на материалы и часы работы оборудования. Такая более усложненная задача показана в таблице 2.

Изделия У		Изделия С
Нормативная цена реализация	110	Нормативная цена реализация	118
Минус нормативные издержки:		Минус нормативные издержки:
Материалы (8 ед. по 4 у.е. за ед.)	32	Материалы (4 ед. по 4 у.е. за ед.)	16
Труд (6 ч по 10 у.е. за ч)	60	Труд (8 ч по 10 у.е. за ч)	80
ПНР (4 ч работы оборудования по 1 у.е.)	4	ПНР (6 ч работы оборудования по 1 у.е.)	6
Всего:	96	Всего:	102
ЕЮ/ад в прибыль	14	ЕЮ/ад в прибыль	16

В течение следующего учетного периода ожидается, что ресурсы будут ограничены следующими показателями:

Труд 2800 ч

Материалы 3440 ед.

Мощность оборудования 2760 ч

Менеджер по маркетингу считает, что максимально возможная реализация изделия У составляет 420 ед. По изделию С ограничений нет. Вам поручили дать рекомендации о том, как следует использовать оборудование и ресурсы наилучшим образом, чтобы получить от них оптимальные выгоды.

Процедура, которой воспользуемся для решения поставленной задачи, связана, во-первых, с формулированием этой задачи в алгебраическом виде, поэтому введем следующие обозначения: У - число единиц продукта У, а С - число единиц продукта С, выпускаемых компанией. Во-вторых, следует уточнить целевую функцию, которой в данном примере является максимизация вклада в прибыль (обозначим ее Х). Кроме того, необходимо учесть ограничения по исходным ресурсам. Теперь можно сформулировать модель линейного программирования в следующем виде:

Максимизировать Х = 14У + 16С, при условии, что 8У+4С <= 3440 (ограничение по материалу) 6У+8С<=2880 (ограничение по труду)

4У+6С<=2760 (ограничение по мощности оборудования)

0<=У<=420 (ограничение по минимальной и максимальной мощности) С>=О (ограничение по минимальной реализации)

В этой модели «максимизировать С» означает, что мы стремимся иметь вклад в прибыль максимальный при неизвестном числе единиц У, каждая из которых даст вклад в прибыль в 14 у.е. на единицу, и неизвестном числе единиц С, вклад в прибыль одной из них равен 16 у.е. Ограничение по труду показывает, что для производства единицы изделия У требуется 6 ч труда, а для изделия С - 8 ч. Таким образом общее время (6ч*У + 8ч*С) не может превышать 2880 ч. Аналогичные обоснования применяются к другим ресурсам.

Поскольку линейное программирование - это не более чем математический инструмент, применяемый для решения оптимизационных проблем ограничения, сам по себе этот прием не гарантирует, что полученный в результате него вариант будут обоснованным с логической точки зрения. Например, производственная задача для некоторых неприбыльных продуктов показывает, что оптимальный уровень выхода продукции может быть при отрицательном значении, что понятно, является невозможным. Чтобы не допустить таких нереалистичных результатов, следует включить требования о получении неотрицательного результата, которое указывает, что все переменные в задаче должны быть равными нулю или больше нуля. Поэтому необходимо добавить к модели для рассматриваемого примера ограничение, что у и С должны быть не меньше нуля, Т.е. мы должны включить требования о получении 0<=У<=420. Последнее выражение указывает, что реализация У, с одной стороны, не может быть меньше нуля, а с другой - не должна превышать 420 ед.