Задание № 7.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример решения задачи из задания № 7.
В некоторых ситуациях обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка легко решаются с помощью приема, который мы будем называть методом разделения переменных. Поясним суть приема на примере. Пусть дано уравнение:
Постараемся преобразовать уравнение так, чтобы в левой его части было выражение, содержащее только переменную x, а в правой неизвестную функцию y.
Если мы умножим формально обе части равенства на dx, то получим выражения, которые можно трактовать как дифференциалы некоторых функций, зависящих только от x и от y:
Равенство дифференциалов предполагает, что сами функции отличаются друг от друга на некоторую константу С, т.е.
Окончательно получаем
.
Подставляем полученную функцию в исходное уравнение, нетрудно убедиться, что уравнение превращается в тождество.
Задание № 8.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример решения задачи из задания № 8.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Имеем
линейное неоднородное дифференциальное
уравнение 3-го порядка с постоянными
коэффициентами (ЛНДУ). Его общее решение
,
где
-
общее решение соответствующего
однородного уравнения (ЛОДУ),
- частное решение данного ЛНДУ. В нашем
случае ЛОДУ имеет вид:
Характеристическое уравнение
Имеем
корень
кратности 3, значит
Далее находим частное решение исходного уравнения в виде:
Так
как
,
-
число, равное кратности
как корня характеристического уравнения,
то
,
поэтому
Находим
Подставив
в исходное уравнение и произведя
сокращения, получим 6А=2,
т.е.
тогда
а искомое общее решение примет вид
Задание № 9.
Исследовать на сходимость ряд.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример решения задачи из задания № 9.
Исследуем
сходимость знакоположительного ряда
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера. Пусть для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена к предыдущему
если
то данный ряд сходится,если
то
данный ряд расходится,если
,
то данный признак не дает ответа: ряд
может как сходится, так и расходится,
требуется дополнительное исследование.
Итак,
,
Так
как
то ряд
-
сходится.