Задание № 4.

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

1.		6.
2.		7
3.		8.
4.		9.
5.		10.

Пример решения задачи из задания № 4.

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. ООФ. т.е. . Таким образом, в точках функция терпит разрыв.

2. ОЗФ. Так как , то заданная функция принимает только положительные значения. Кроме того, т.к. точка не принадлежит ООФ, то функция не обращается в нуль ни в одной точке. Следовательно, , т.е. .

3. Из сказанного в п. 2 следует, что график функции не пересекает ни ось Оx, ни ось Оy.

4. Функция – четная, т.к. вследствие того, что в выражение входит только во второй степени.

Поэтому график функции симметричен относительно оси Оy. Нам достаточно исследовать и построить ее график только для положительных , т.е. для , а затем зеркально отразить результаты исследования и полученный график для .

5. Посмотрим, как ведет себя функция на концах интервалов, определяющих область определения.

   1. 

Разделим обе части дроби на :

т.к. .

2. т.к.

1. Т.к. , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции. Аналогично, и – тоже вертикальная асимптота.

Посмотрим, нет ли у функции наклонных асимптот. Уравнение наклонной асимптоты к графику функции имеет вид , где

а .

Вычислим :

разделим числитель и знаменатель дроби на :

т.к.

Получили, что . Теперь найдем :

разделим обе части дроби на :

.

Поэтому уравнение правой наклонной асимптоты будет

,

а левой наклонной асимптоты (вследствие симметричности) –

.

7. Так как заданная функция представлена в виде сложной функции, записанной с помощью элементарных функций (дробная, степенная), каждая из которых непрерывна в своей области определения, то и исследуемая функция будет непрерывна в «общей» области определения .

А в точках функция терпит разрывы, т.к. там она не определена. И разрывы эти 2-го рода, т.к. .

8. Исследуем функцию на монотонность.

Сначала найдем ее производную.

Найдем теперь стационарные точки функции, т.е. те значения , при которых , . не входит в область определения функции, а являются точками возможного экстремума функции.

Исследуем поведение функции вокруг точки .

При т.е. при функция возрастает.

При т.е. при функция убывает.

Следовательно, в т. функция достигает своего минимума:

.

9. Направление вогнутости графика функции.

Найдем вторую производную функции.

.

Так как нигде в ноль не обращается, то точек перегиба у графика функции нет.

При всюду в этой области функция выпукла вниз. И тем самым еще раз подтверждаем, что в т. функция достигает своего минимума, а максимума она не достигает нигде, т.к. ни при каких не будет.

10. Теперь по результатам исследования рисуем график заданной функции.

Задание № 5.

Найти неопределенный интеграл.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Пример решения задачи из задания № 5.

Пример 1.

Вычислить .

Введем новую переменную тогда

Подставим в интеграл и получим для переменной t получим табличный интеграл

Возвращаясь к переменной x, получим

Пример 2.

Вычислить

Используя метод замены переменной получим:

тогда

Задание № 6.

Вычислить определенные интегралы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Пример решения задачи из задания № 6.

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

В качестве u(x) возьмем u(x)=x²-5x+6, тогда dv=sin3xdx. Найдем du и v:

du=(2x-5)dv, и .

Поэтому

Для вычисления интеграла вновь используем формулы интегрирования по частям. Теперь в качестве u возьмем u=2x-5, а dv=cos3xdx. Тогда du=2dx, .

Получаем:

Подставляем в предыдущее выражение и получаем ответ:

И вновь следует сделать проверку дифференцированием.

Теперь по формуле Ньютона-Лейбница получаем: