Министерство образования и науки РФ
Читинский институт (филиал) ФГБОУ ВПО
«Байкальский государственный университет экономики и права»
Кафедра математики
Контрольная работа
по дисциплине «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
для студентов 1-го курса
(бакалавров заочного отделения)
по направлению 080100.03 Экономика, профиль Финансы и кредит
по направлению 080100.04 Экономика, профиль Бухгалтерский учет, анализ и аудит
по направлению 080100.01 Экономика, профиль Экономика предприятия и предпринимательская деятельность
по направлению 080100.02 Экономика, профиль Мировая экономика
Чита, 2011г.
Печатается по решению УМК ЧИ (филиал) ФГБОУ ВПО
Протокол № ____ от ___________ 2011 г.
Составители: профессор, к.ф.-м.н. кафедры математики Линькова Г.Н.
ведущий доцент, к.ф.-м.н. кафедры математики Фалейчик А.А.
Рекомендовано к печати кафедрой математики
Протокол заседания № _1_ от _16 сентября_2011г.
Указания к выполнению контрольных работ:
По курсу «Математический анализ» каждый студент должен выполнить контрольную работу. Варианты заданий для этих работ приведены ниже.
При выполнении, оформлении контрольной работы необходимо руководствоваться следующим:
Контрольная работа должна быть выполнена по соответствующему варианту. В случае невыполнения этого требования автоматически ставиться «НЕЗАЧЕТ».
Условия задач необходимо переписать в работу. После условия каждой задачи следует ее решение. Ко всем этапам решения задач необходимо дать развернутые описательные пояснения.
В конце работы следует указать литературу (автора, название и год издания), использованную при ее выполнении, а также при изучении учебного материала. Студент должен подписать работу и поставить дату окончания ее выполнения.
На бланке, который наклеивается на обложку работы, четко пишется фамилия, имя, отчество студента, а также номер студенческого билета/зачетной книжкой.
Если работа не зачтена, то ее необходимо переделать в соответствии с указаниями, данными в рецензии.
Зачтенные контрольные работы обязательно предъявляются на экзамене.
Выбор варианта контрольной работы:
Если номер зачетной книжки оканчивается цифрой 1, следовательно, вариант контрольной работы 1и т.д.; если номер зачетной книжки оканчивается цифрой 0, вариант контрольной работы 10.
Пример: номер зачетной книжки № 02-36, вариант 6 по всем заданиям.
Задание № 1.
Решить систему линейных уравнений.
Дана
система уравнений:
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример решения задачи из задания № 1
Решить
систему уравнений
.
По правилу Крамера.
Если
главный определитель системы из
уравнений с
неизвестными отличен от 0, то система
имеет единственное решение, которое
ищется по формулам:
.
Посчитаем
,
и
.
Каждый
из них получается из главного определителя
системы заменой столбца коэффициентов
при неизвестном
столбцом свободных членов уравнений,
стоящих в правой части системы:
,
Задание № 2.
Доказать,
что
.
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Пример решения задачи из задания № 2.
Доказать,
что
.
Исходя
из определения предела последовательности,
для любого положительного числа
нужно найти такой номер
члена последовательности
,
начиная с которого выполнилось бы
неравенство
.
В нашем случае можно поступить так:
.
Отсюда
получаем, что
.
Например,
достаточно выбрать число, на единицу
большее целой части дроби
,
т.е.
.
В
частности, если
,
то
можно взять равным 100.
Задание № 3.
а) Вычислить пределы функций.
1.
2.
3
4
5
6
7
8
9
10
б) Вычислить пределы функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Пример решения задачи из задания № 3.
Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
В
числителе и знаменателе дроби стоят
многочлены 5-ой степени, каждый из
которых при
являются бесконечно большими одного
порядка, т.е. получаем неопределенность
типа
.
Однако, предел отношения двух многочленов
одинаковой степени при
равен отношению коэффициентов при
самой старшей степени (здесь
).
В данном случае это отношение равно
.
Поэтому
.
Действительно,
разделим числитель и знаменатель дроби
на старшую степень
,
а именно на
:
При
дроби
являются бесконечно малыми величинами,
т.е. их пределы при
равны 0.
Воспользуемся такими свойствами пределов как:
,
в
предположении, что
и
существуют.
Продолжим цепочку вычисления предела:
.
При
числитель и знаменатель дроби обращаются
в 0, т.е.
является корнем многочленов, образующих
дробь. Следовательно, при
имеем неопределенность типа
.
Попробуем раскрыть ее.
Разложим оба многочлена на множители:
.
Теперь искомый предел можно переписать следующим образом:
При
всех значениях
,
в том числе и в окрестности т.
,
отношение этих многочленов равно
а в т.
функция
не определена.
.
При
получаем неопределенность типа
.
Распишем числитель дроби, как разность
кубов
:
.
При
,
a
,
поэтому можем сделать следующие
выкладки:
т.к.
– это первый замечательный предел.
При
получаем неопределенность вида
.
Раскроем ее. Выделим в основании степени
1:
.
При
слагаемое
является бесконечно малой, т.е. ее
предел равен 0. Поэтому воспользуемся
вторым замечательным пределом:
.
Здесь
,
поэтому
т.к.
(отношение коэффициентов при старшей
степени).
Ответ:
.