10. Достоверный эквивалент лотереи, рисковая премия, рисковая нагрузка, вероятностная премия.

Достоверным эквивалентом (certainty equivalent) (c) называется денежная сумма, гарантированное получение которой с точки зрения индивида будет равноценно участию в игре:

U [ о W₁ (1- )о W₂] = Eu = u(W₁)+(1 - )u(W₂) = u(c)

Определение достоверного эквивалента с, задаваемого посредством функций распределения:

U = Eu = ?u (W) dF(W ) = ??u [с(F,u )]

Рис.2.9

Собственно, именно величина достоверного эквивалента и представляет собой минимальную цену, по которой индивид будет готов продать право участия в игре или же - максимальную цену, по которой он готов будет его купить.

Как уже отмечалось, u (W), называемая кардиналистской функцией полезности или функцией Бернулли, часто трактуется ( в полном соответствии с подходом Бернулли) как кардиналистская полезность в условиях определенности, т.е. как полезность при гарантированном получении некоторой суммы денег W.

Но этот подход не является единственно возможным. В частности, Пол Шумейкер настаивает на необходимости иного подхода к интерпретации u (W), рассматривая ее как кардиналистскую меру полезности достоверного эквивалента лотереи, т.е. как кардиналисткую полезность в условиях неопределенности).

Рисковая премия (risk premium), обозначаемая в дальнейшем r, представляет собой максимальную плату, которую не склонный к риску индивид готов заплатить за то, чтобы избавиться от предстоящей ему справедливой игры, и , соответственно, равна разности между математическим ожиданием выигрыша E(W) и величиной достоверного эквивалента игры (c):

r = E(W) - c

Рис.2.10 Рисковая премия ( risk premium) r = E(W) - c.

Рассмотрение неблагоприятной игры предполагает некоторое усложнение. А именно, наряду с введением понятия рисковая премия оно требует также введения понятия справедливая премия ( а fair premium).

Справедливая премия ( а fair premium) , обозначаемая в дальнейшем r ^*, представляет собой разность между суммой, которой индивид обладал первоначально, и математическим ожиданием выигрыша:

r^* = W₀ - E(W)

Рис.2.11 Справедливая премия в неблагоприятной ( W0 =W2 ) игре : r* = W0 - EW > 0

После уплаты или напротив - получения индивидом справедливой премии(все зависит от уровня его первоначального богатства ), игра для него перестает быть несправедливой и превращается в справедливую. Действительно, перед ее началом индивид обладает суммой денег, равной математическому ожиданию выигрыша). Справедливая премия тем самым может интерпретироваться как (до)плата за превращение игры из неблагоприятной в справедливую .

Именно на величину r^* максимальная сумма денег, которой индивид будет готов пожертвовать, с тем чтобы избежать участия в неблагоприятной игре, т.е. (W₀ - c), будет превышать размер рисковой премии r :

r^*+ r = [W₀ - E(W)]+ [ E(W)- c]= W₀ - c

• Для несклонного к риску индивида, чьи предпочтения будут выпуклыми,

_{графически проиллюстрируем введенные понятия на пространстве условных благ. Проведем из начала кординат луч, имеющий наклон} 45 градусов?. Подобного рода линию в дальнейшем мы будем называть линией уверенности (certainty line), поскольку для любой ее точки выполняется условие Wg = W_b

Через исходную точку ( W₂ ,W₁) также следует провести резервную кривую безразличия , т.е. кривую безразличия, соответствующую уровню ожидаемой полезности, получаемой незастрахованным индивидом:

Eu ^R = Eu = u(W₁)+(1 - )u(W₂)

Эта кривая безразличия пройдет через точки (W_b, W_g), такие что

Eu = u (W_b) + (1- )u(W_g) = Eu ^R ,

и пересечет линию уверенности в некоторой точке координаты которой (равные по обеим осям) будут равны достоверному эквиваленту лотереи c.

Рис.2.12.

Следующим шагом будет построение линии математического ожидания выигрыша

( iso-expected value linе) незастрахованного индивида

E W = W₁ + (1 - )W₁

Наклон этой линии будет равен - (1 - )/ .Для того, чтобы убедиться в этом, проведем простейшие преобразования:

E(W) = W_b + (1 - )W_g = соnst

_Wb = соnst - W_g

Сдвигаясь по этой линии вверх вплоть до точки ее пересечения с линией уверенности(certainty line), мы будем переходить к лотереям все более предпочтительным в смысле стохастического доминирования второго рода, ибо при фиксированном математическом ожидании выигрыша дисперсия будет непрерывно уменьшаться, достигая в точке пересечения с линией уверенности нулевого уровня (и вновь возрастая по мере дальнейшего удаления от исходной точки). Координаты точки А по обеим осям будут равны между собой и равны величине математического ожидания выигрыша:

EW = W_b(А) + (1 - )Wg(А) = Wg(а) Wg(а)= W_b (а)=EW .

Величина справедливой премии r^* = W₀ - EW тем самым будет соответствовать расстоянию(по оси абсцисс) между точкой А и исходной точкой, а рисковой премии

r = EW - с будет отведен промежуточный интервал между достоверным эквивалентом и справедливой премией.

Рисковая нагрузка(risk loading) и вероятностная премия .

До сих пор рассматривались ситуации, в которых индивид вынужден был подвергнуться тому или иному риску, однако подобная постановка не вполне уместна, когда речь идет о возможных инвестициях в рискованные проекты со стороны агентов, изначально располагающих некоторой суммой и обладающих возможностью поместить эти средства в безрисковые активы.

Предположим, индивид располагает некоторой суммой. Эта сумма может быть помещена им в безрисковые активы, что приведет к ее возрастанию до W₀ . Если не склонному к риску индивиду предложат рискованное вложение первоначальной суммы на условиях, обеспечивающих то же самое (т.е. W₀ ) математическое ожидание выигрыша, он безусловно откажется. Побудить его к рискованным вложениям могут только заведомо благоприятные условия предлагаемой игры, т.е. превышение математического ожидания выигрыша в предлагаемой игре над уровнем W₀. Естественной является постановка вопроса о минимально допустимой мере этой благоприятности, т.е. о том, насколько математическое ожидания выигрыша должно превысить W₀ , с тем, чтобы индивид стал безразличен между участием и неучастием в игре.

u(W₀) = Еu(L).

Графически проиллюстрировать величину этого превышения возможно, изобразив на рисунке дополнительную горизонтальную линию, проведенную на уровне u(W₀).

Рис.2.13

Собственно, следует предварительно оговорить возможность двоякого подхода к решению проблемы повышения математического ожидания выигрыша до уровня, соответствующего W*   с двух различных точек зрения. Этого можно достичь улучшив выплаты при сохранении прежних вероятностей их получения и наоборот - увеличив вероятность получения лучшего приза(при сохранении прежнего уровня выигрышей).

В первом случае, можно добиться безразличия не склонного к риску индивида между гарантированным обладанием W₀ и рискованными инвестициями, имеющими такое же математическое ожидание выигрыша, предложив ему денежную компенсацию l = W* - W₀ за принятие этой справедливой игры. При этом вполне логичным представляется интерпретация подобной величины рискового вознаграждения или рисковой нагрузки (в англоязычной литературе называемой risk loading) как готовности индивида принимать компенсацию (WTA) или же компенсирующей вариации дохода, подобно тому как рисковая премия r т.е.плата, которую индивид готов заплатить за то, чтобы избежать уготованной ему справедливой игры, интерпретировалась нами как эквивалентная вариация дохода или готовность платить(WTР). Действительно, получение вознаграждения за риск позволяет индивиду, участвуя в игре, достичь того же уровня (ожидаемой) полезности, что и обладание суммой W₀. В условиях, когда не существует обстоятельств , принуждающих индивида принять участие в справедливой игре, рисковое вознаграждение или рисковая нагрузка l будет более приемлемой денежной оценкой изменений в уровне (ожидаемой) полезности при принятии рискованной справедливой игры.

Во втором случае, т.е. при фиксации уровня выигрышей, повышение математического ожидания выигрыша может быть достигнуто за счет приращения вероятности получения лучшего приза. Подобное приращение  ?, делающее не склонного к риску индивида безразличным между участием и неучастием в игре:

u(W₀) = (р - ??)u(W₁) + (1 - р + ?)u(W₂)

получило название вероятностной премии (W,F, u)

Рис.2.14.

Итак, для не склонного к риску индивида, имеющего вогнутую функцию полезности, величина достоверного эквивалента лотереи будет ниже величины математического ожидания выигрыша, а вероятностная премия, рисковая премия и рисковое вознаграждение будут положительными:

1) с (F,u ) < E(W ) 2) > 0; r > 0; l > 0

Соответственно, для склонного к риску индивида, имеющего выпуклую функцию полезности выполняются обратные условия:

1) с (F,u ) > E(W ) 2) < 0; r < 0; l < 0

Рис.2.15.а с (F,u ) < E(W) > 0; r > 0; l > 0

Рис.2.15.б с (F,u ) > E(W) < 0; r < 0; l < 0