8. Стохастическое доминирование.

Стохастическое доминирование первого рода.

Рассмотрим два распределения F(W) и G(W)(см. рис(2.1.а).

С одной стороны, с некоей заданной вероятностью можно получить выигрыш

W ≤ w_F - при распределении F и W ≤ w_G - при распределении G . Т.к. F(W ) ≤ G(W ) для любого W, то, следовательно, w_F > w_G , что позволяет оценивать распределение F как менее рискованное. Иначе, более корректно, эту мысль можно сформулировать, указав на стохастическое доминирование распределения F распределения G.

Def. Распределение F(W) первично стохастически доминирует распределение G(W) (F(W) first-order stochastically dominates G(W)), тогда и только тогда, когда F(W ) ≤ G(W) для любого W.

Рис.2.1.а Доминирование первого рода

Соответственно, если распределение F первично стохастически доминирует распределение G, то

• при распределении выигрышей F математическое ожидание выигрыша будет выше, чем при распределении G:

W dF(W) ≥ W dG(W)

Графически это может интерпретироваться следующим образом (простоты ради зададим в данном случае совпадающие интервалы выигрышей):

Рис.2.2.а E(W) = W dG(W)

Рис.2.2..б E(W) = W dF(W)

Рис.2.2..в D E(W) = W dF - W dG

• при распределении выигрышей F ожидаемая полезность будет выше, чем при распределении G, т.е. для любой неубывающей функции u(W) выполняется условие

Eu (F ) ≥ Eu (G ) u(W) dF(W) ≥ u (W) dG(W ).

Обратите внимание, на то обстоятельство, что несмотря на то, что стохастическое доминирование первого рода позволяет нам проранжировать лотереи как по уровню математического ожидания выигрыша, так и по уровню их ожидаемой полезности, обратное неверно, т.е. ни по уровню математического ожидания выигрыша , ни по уровню ожидаемой полезности нельзя делать вывод о стохастическом доминировании первого рода, поскольку ранжирование лотерей с точки зрения доминирования первого рода является частичным. Например, распределение G(W ) первично стохастически доминируется распределениями F(W) и F '(W), но не существует возможности, рассматривая лишь доминирование первого рода, проранжировать эти два последние распределения.

Рис.2.3.

Стохастическое доминирование второго рода при совпадении математического ожидания выигрышей.

Несколько упрощая рассмотрение стохастического доминирования второго рода, сконцентрируемся лишь на тех распределениях, которые характеризуются совпадением математических ожиданий выигрышей.

Def. Распределение F(W) вторично стохастически доминирует

распределение G(W) ( F(W) second-order stochastically dominates G (W) ),

имеющее такое же математическое ожидание

W dF(W) = W dG(W),

если распределение G предполагает больший разброс выигрышей, т.е. его дисперсия больше.

Пример. Сравним две игры, имеющие распределение G(W) и F(W) .В первой игре с вероятностями 0.25 можно выиграть 1, 2, 3 и 4. Во второй с вероятностями 0.5 можно получить 2 и 3. В обоих случаях математическое ожидание одинаково - 2.5 , что графически иллюстрируется совпадением площадей заштрихованных фигур.

Но поскольку в распределении G(W) задан больший разброс выигрышей, т.е. его дисперсия выше, чем при распределении F(W), оно является более рискованным.

Рис.2.4.а

Рис.2.4..б

Рис.2.4.в

Без доказательства приведем теорему, гласящую, что, если распределение F(W) вторично стохастически доминирует распределение G(W), то для любой возрастающей вогнутой функции полезности u(W) выполняется условие

u(W) dF(W) ≥ u(W) dG(W).

Обратите внимание на то, что в данном случае мы формулируем этот вывод лишь для вогнутых, т.е. свидетельствующих о несклонности индивида к риску, кардиналистских функций полезности u(W) , в то время как говоря о сходном результате, связанном со стохастическом доминированием первого рода, мы оговаривали лишь неубывающий характер этой функции .