4. Конвективный теплообмен

4.1. Математическая модель конвективного теплообмена

О бычно конвективным теплообменом называют совокупность процессов переноса теплоты посредством конвекции (теплоносителем) с последующей передачей теплопроводностью (рис. 45). Такой процесс описывается системой уравнений, включающей уравнение энергии, т.е. соотношение, характеризующее перенос теплоты теплопроводностью в пограничном слое теплоносителя (q_г); уравнение движения теплоносителя; уравнение неразрывности потока теплоносителя и условия однозначности (геометрические, физические, начальные, граничные).

Рис. 45. Схематичное изображение процесса

конвективного теплообмена

4.2. Методы решения задач конвективного теплообмена

Целью решения таких задач является определение параметров теплообмена: плотности теплового потока q^*, коэффициента теплоотдачи α и т.д. Различают три принципиальных подхода к решению.

Классический метод состоит в решении системы соответствующих уравнений аналитическим или численным (чаще) способом. При этом, как правило, уравнения записывают по отношению не ко всему потоку теплоносителя, а лишь к его пограничному слою, который оказывает основное влияние на теплообмен. Таким образом, решается задача для пограничного слоя потока.

Метод теории подобия заключается в том, что строится математическая модель процесса, выявляются количество и виды критериев подобия процесса, а далее экспериментально находятся связи между критериями в форме так называемого “критериального уравнения”.

Наконец, применяется метод экспериментального определения параметров теплообмена на гидро- и электроинтеграторах. Построение последних основано на идентичности систем уравнений, описывающих тепловые, гидравлические и электрические явления.

Необходимо подчеркнуть, что на практике чаще всего используется второй подход.

4.3. Методика решения задачи конвективного теплообмена с помощью теории подобия

При указанном в заголовке подходе к решению задачи алгоритм последнего включает этапы:

- составление математической модели процесса;

- определение числа и видов критериев подобия;

- выявление общего вида критериального уравнения;

- создание модели экспериментальной установки для решения критериального уравнения;

- проведение опытов на модели, обработка результатов и выявление конкретного вида искомого уравнения.

Чтобы пояснить изложенное, рассмотрим простейший пример, начиная со второго этапа (считаем, что математическая модель процесса уже построена). На основе системы уравнений для процесса конвективного теплообмена (см. выше) в общем случае можно получить ряд критериев:

1. Рейнольдса, безразмерный эквивалент массовой скорости потока теплоносителя, характеризующий вынужденную конвекцию –

Re = w·ρ_газа·d/η_газа.

2. Грассгофа –

Gr = (g·d³·ρ_газа²·∆Т)/( η_газа∙Т),

где g – для неподвижного тела ускорение свободного падения в гравитационном поле Земли, ∆Т – перепад температур между теплоносителем и телом. Этот критерий характеризует естественную конвекцию.

3. Прандтля (безразмерный комплекс теплофизических параметров теплоносителя)

Pr = c_p·η_газа/λ_газа.

4. Маха, определяющий режим течения теплоносителя (до- или сверхзвуковой) –

М = w/a.

5. Нуссельта (безразмерный аналог коэффициента теплоотдачи) –

Nu = α·d/λ_газа.

Определим общий вид критериального уравнения. Для этого на основании общей физической картины задачи нужно выделить неопределяющий и определяющие критерии. Под первым понимают искомый критерий (функцию), зависящий от всех остальных.

В случае конвективного теплообмена за функцию обычно принимают критерий Нуссельта, т.к. туда входит параметр α. Значит, общий вид критериального уравнения можно представить как –

Nu = f (Re, Cr, Pr, M).

При обработке полученные экспериментальные данные удобно аппроксимировать степенным уравнением –

Nu = A·Reⁿ·Cr^m·Pr^p·M^k,

где А, n, m, p, k – постоянные коэффициенты, вычисляемые по результатам эксперимента.

В качестве примера определения перечисленных констант рассмотрим упрощенный случай критериального уравнения –

Nu = A·Reⁿ.

Прологарифмируем это равенство

lg Nu = lgA + n·lgRe.

С тепенное уравнение преобразовалось в линейное. Далее, чтобы найти искомые постоянные А и n, требуется провести ряд экспериментов, замеряя параметры, входящие в Nu и Re, и рассчитывая Nu и Re для каждого опыта, после чего значения неизвестных констант А и n без труда определяются с помощью метода наименьших квадратов (рис. 46).

Рис. 46. Пояснение к процедуре нахождения постоянных критериального уравнения