3.3. Исследование механического движения тел

Определим критерии подобия механического движения тел. Пусть на ряд тел действуют силы (F, F_i, …). Требуется из всей совокупности тел выделить, например, шары, имеющие подобие в движении.

Построим математическую модель изучаемого явления. Как известно, движение тел подчиняется второму закону Ньютона –

F = m·(dw/dτ),

где m – масса тела, w – его скорость, τ – время.

Выявим константы подобия –

K_F = F_i/F; K_m = m_i/m; K_w = w_i/w; K_τ = τ_i/τ.

Теперь определим индикаторы подобия. Имеем –

F_i = K_F·F; m_i = K_m·m; w_i = K_w·w; τ_i = K_τ·τ.

Подставим эти равенства в исходное базовое уравнение –

K_F·F = (K_m·m)·(K_w·dw/K_τ·dτ).

Получено новое уравнение –

K_F·F = (K_m·K_w/K_τ)·m·(dw/dτ).

Разделим его на базовое

K_F = K_m·K_w/K_τ.

Отсюда

K_F·K_τ/K_m·K_w = 1.

Получен один индикатор подобия, значит, в рассматриваемом случае необходим и один критерий подобия. Используя общую методику его определения, имеем –

F·τ/m·w = idem.

3.4. Исследование теплофизических задач с помощью теории подобия

В качестве примера выявим критерии подобия процесса конвективного теплообмена, при котором изучаемое тело нагревается, считая задачу нестационарной и одномерной.

Математическая модель имеет вид –

∂T/∂τ = a·(∂²T/∂x²),

причем, α·(Т_в – Т_ст) = – λ·(∂T/∂x), Т = Т_ст (смысл параметров см. выше).

Найдем константы подобия –

К_Т = T_i/T; K_x = x_i/x; К_Тст = Т_стi/T_ст; К_τ = τ_i/τ; K_α = α_i/α; К_λ = λ_i/λ; K_a = a_i/a; К_Тв = Т_вi/T_в.

Получим индикаторы подобия. Запишем –

T_i = К_Т·T; x_i = K_x·x; Т_стi = K_Tст·Т_ст; τ_i = К_τ·τ; α_i = K_α·α; λ_i = К_λ·λ; a_i = K_a·а; Т_вi = K_Тв·Т_в.

Эти равенства подставим в базовое уравнение

К_Т·∂Т/К_τ·∂τ = (К_а·а)·(К_Т·∂²Т/К_х²·∂х²).

Отсюда (разделив последнее уравнение на базовое) можно получить

К_Т/К_τ = К_а·(К_Т/К_х²).

Далее

К_α·α·(К_Тв·Т_в – К_Тст·Т_ст) = – К_λ·λ·(К_Т·∂Т/К_х·∂х)

и

К_α·К_Тв = К_α·К_Тст = К_λ·К_Т/К_х.

В итоге индикаторы подобия имеют вид

К_х²/(К_α·К_τ) = 1; К_Тв/К_Тст = 1; (К_α·К_Тст·К_х)/(К_λ·К_Т) = 1.

Отсюда можно получить три критерия подобия –

х²/а·τ = idem; Т_в/Т_ст = idem; (α·Т_ст·х)/(λ·Т) = idem.

Вспомним, что при решении задач теплопроводности расчетные формулы принято записывать, используя безразмерные параметры. Поменяем в полученных равенствах местами числители и знаменатели, принимая во внимание, что по условию Т = Т_ст. Тогда

a·τ/x² = idem; Т/Т_в = idem; α·х/λ = idem.

Первое из приведенных равенств фактически представляет собой критерий Фурье Fo (безразмерное время процесса), второе – критерий θ (безразмерная температура процесса), а третье – критерий Био Bi (аналог критерия Нуссельта или безразмерного коэффициента теплоотдачи α).

Таким образом, теория подобия на основании математической модели исследуемого процесса позволяет без операций интегрирования и дифференцирования выявить критерии подобия процесса и их количество, что значительно упрощает решение теплофизических задач. Правда, теория подобия не указывает на конкретную аналитическую связь между упомянутыми критериями. Чтобы ее найти, необходима постановка экспериментов на моделях изучаемого процесса. В качестве примера выявления такой связи рассмотрим подробнее исследование процесса конвективного теплообмена.