11.7. Математическое выражение второго закона термодинамики

Математическое выражение второго закона термодинамики базируется на понятии “энтропия”, непосредственно связанном с температурой РТ.

Сперва рассмотрим равновесный обратимый процесс (цикл), т.е. такой, который в прямом и обратном направлениях протекает без каких-либо потерь энергии через одни и те же промежуточные равновесные состояния. Возьмем изолированную систему двух тел, характеризующихся температурами Т₁ и Т₂, и исследуем процесс теплообмена между ними. Для равновесных процессов справедливо –

dT → 0, т.е. Т₁ = Т₂.

Рассчитаем изменение энтропии системы изучаемых тел –

ds = ds₁ + ds₂,

где ds₁ = dq/T₁; ds₂ = dq/T₂.

Т.к. Т₁ = Т₂, а dq для рассматриваемых тел одно и то же, то

|ds₁| = |ds₂|.

Предположим, что ds₁ > 0, a ds₂ < 0. Тогда

ds = 0.

Таким образом, при протекании равновесного обратимого процесса в изолированной ТДС естественным путем изменение энтропии системы равно нулю.

Теперь рассмотрим изменение энтропии в изолированной системе для неравновесного и необратимого процесса, протекающего с потерями энергии. Пусть систему составляют два тела с температурами Т₁ и Т₂ соответственно, причем Т₁ > T₂. Естественно, здесь dT ≠ 0. Рассчитаем изменение энтропии в этом случае. Как и прежде –

ds = ds₁ + ds₂,

где ds₁ = dq/T₁; ds₂ = dq/T₂, но |ds₁| ≠ |ds₂|. Т.к. (согласно сделанному предположению) Т₁ > T₂, по модулю |ds₁| < |ds₂|, причем дифференциал ds₁ отрицателен, а ds₂ положителен. Таким образом, изменение энтропии системы рассматриваемых тел –

ds = – |ds₁| + |ds₂| > 0.

Значит, при протекании неравновесного и необратимого процесса в изолированной ТДС ее энтропия возрастает.

Проведенный анализ позволяет сделать вывод: при протекании естественных термодинамических процессов в изолированных системах энтропия остается постоянной или возрастает –

ds ≥0.

Эта формула является математическим выражением второго закона термодинамики.

12. Метод характеристических функций в технической термодинамике

12.1. Частный и общий методы исследования термодинамических процессов

Изложенный выше учебно-методический материал базировался на рассмотрении термодинамических процессов так называемым “методом цикла”, который основан на совокупности ряда физических соотношений, в частности –

1. уравнение состояния p·v = R·T;

2. уравнение политропного процесса p·vⁿ = const;

3. уравнение неразрывности потока РТ m' = f·w·ρ;

4. первый закон термодинамики dq = du + p·dv или dq = di – v·dp;

5. второй закон термодинамики ds ≥ 0, где ds = dq/T.

Необходимо подчеркнуть, что существует и более общий подход к исследованию термодинамических процессов – метод характеристических функций. Указанный способ основан на базе важнейшего уравнения термодинамики, объединяющего ее первый и второй законы. Оно позволяет получить совокупность дифференциальных соотношений, из которой легко определяются все виды термодинамических параметров.