5.2. Расчетные соотношения для изменения энтропии

Из определения энтропии следует, что

ds = dq/T.

Однако

dq = c·dT.

Поэтому

ds = c·dT/T,

откуда

s₂ T₂

∆s = s₂ – s₁ = ∫ds = ∫c·dT/T.

s₁ T₁

Для политропных процессов удельная теплоемкость c = const. В этом случае

Т₂

∆s = s₂ – s₁ = c·∫dT/T = c·ln(T₂/T₁). [Дж/(кг·К)]

Т₁

Итак –

∆s = c·ln(T₂/T₁).

Полученная формула не является универсальной. Ей нельзя пользоваться при расчетах изотермических процессов, когда c = ± ∞.

Запишем выражение для первого закона термодинамики

dq = du + dl

и разделим обе части равенства на температуру Т –

dq/T = (du/T) + (dl/T).

Вспомним, что –

ds = dq/T, du = c_v·dT, dl = p·dv.

Тогда –

ds = c_v·(dT/T) +p·(dv/T).

Поскольку p·v = R·T,

p = R·T/v.

Подстановка позволяет получить –

ds =c_v·(dT/T) + R·(dv/v).

Интегрируя последнее равенство и считая процесс политропным, имеем

s₂ T₂ v₂

∫ds = c_v·∫(dT/T) + R·∫(dv/v),

s₁ T₁ v₁

откуда

∆s = s₂ – s₁ = c_v·ln(T₂/T₁) + R·ln(v₂ /v₁).

Получена основная расчетная формула для изменения энтропии, из которой следует, что s = f (T, v).

5.3. Дифференциальная форма уравнения состояния

Известно, что p·v = R·T, где R = const. Найдем дифференциал записанного выражения –

d(p·v) = d(R·T) → p·dv + v·dp = R·dT.

Разделим последнее равенство на уравнение состояния

(p·dv)/(p·v) + (v·dp)/(p·v) = (R·dT)/(R·T).

Дифференциальная форма уравнения состояния имеет вид –

(dv/v) + (dp/p) = dT/T.

Выразим из последней формулы отношение (dv/v) –

dv/v = (dT/T) – (dp/p).

Выше было получено, что для политропного процесса справедливо

s₂ T₂ v₂

∫ds = c_v·∫(dT/T) + R·∫(dv/v).

s₁ T₁ v₁

С учетом выражения для dv/v из дифференциальной формы уравнения состояния можно записать –

s₂ T₂ T₂ p₂ T₂ p₂

∫ds = c_v·∫(dT/T) + R·∫(dT/T) – R·∫(dp/p) = (c_v + R)∫(dT/T) – R·∫(dp/p).

s₁ T₁ T₁ p₁ T₁ p₁

Известно, что c_v + R = c_p. Тогда –

s₂ T₂ p₂

∫ds = c_p·∫(dT/T) – R·∫(dp/p).

s₁ T₁ p₁

Интегрируя это равенство, получаем расчетное выражение для энтропии как функции температуры и давления (s = f (T, p)) –

∆s = s₂ – s₁ = c_p·ln(T₂/T₁) – R·ln(p₂/p₁).

Наряду с формулой s = f (T, v), последняя часто используется для определения изменения энтропии ∆s при решении практических задач. Можно вывести так же соотношение s = f (p, v). Для этого нужно выразить из дифференциальной формы уравнения состояния отношение dT/T –

dT/T = (dp/p) + (dv/v).

Тогда –

s₂ T₂ v₂ p₂ v₂ v₂

∫ds = c_v·∫(dT/T) + R·∫(dv/v) = c_v·∫(dp/p) + c_v·∫(dv/v) + R·∫(dv/v) =

s₁ T₁ v₁ p₁ v₁ v₁

p₂ v₂ p₂ v₂

= c_v·∫(dp/p) + (c_v + R)·∫(dv/v) = c_v·∫(dp/p) + c_p·∫(dv/v).

p₁ v₁ p₁ v₁

Таким образом, для политропных процессов

∆s = s₂ – s₁ = c_v·ln(p₂/p₁) + c_p·ln(v₂/v₁).

Эта формула тоже применяется при решении прикладных задач.