4.9. Расчет количества теплоты процесса с использованием теплоемкости

Указанный в заголовке темы расчет производится на основании определения удельной теплоемкости

c = dq/dT. [Дж/(кг∙К)]

Из последней формулы следует, что

dq = c·dT.

Чтобы найти количество теплоты q, достаточно выполнить интегрирование –

q T₂

∫dq = ∫c∙dT.

0 T₁

Отсюда –

Т₂

q = ∫c·dT, [Дж/кг]

Т₁

где c = f (T). Фактически получена основная формула для расчета теплоты термодинамического процесса.

При изучении политропных процессов зависимостью удельной теплоемкости от температуры можно пренебречь и считать c = const = с^- где с^- – средняя удельная теплоемкость РТ. Тогда –

Т₂

q = c^-·∫dT = c^-·(T₂ – T₁). [Дж/кг]

Т₁

Последнее равенство справедливо для любого вида политропного процесса.

4.10. Расчет изменения внутренней энергии при изменении состояния системы

В соответствии с первым законом термодинамики подводимая к ТДС теплота расходуется на увеличение внутренней энергии системы и совершение системой работы, т.е.

dq = du + dl.

Очевидно, что при выводе расчетного соотношения для изменения внутренней энергии следует исключить ту часть теплоты q_l, которая идет на совершение работы, т.е. предположить, что процесс проходит без совершения последней. Воспользуемся основной формой записи первого закона термодинамики –

dq = du + p·dv,

где dq = dq_u + dq_l, q_u – часть теплоты, идущая на увеличение внутренней энергии ТДС.

Работа при прохождении процесса не совершается, если процесс протекает при постоянном объеме. Действительно, v = const → dv = 0 → dl = p·dv = 0. При этом dq_u = = dq_v. По определению изохорной удельной теплоемкости

c_v = dq_v/dT,

откуда –

dq_v = c_v·dT.

Используя основную форму записи первого закона термодинамики и учитывая, что p·dv = 0, можно окончательно получить –

dq_v = du или du = c_v·dT.

Это дифференциальное выражение описывает изменение внутренней энергии ТДС для любого процесса.

Проинтегрируем записанное равенство –

u₂ T₂

∫du = ∫c_v·dT.

u₁ T₁

В результате получим –

Т₂

∆u = u₂ – u₁ = ∫c_v·dT, [Дж/кг]

Т₁

где c_v = f (T). Последняя формула является основной для расчета изменения внутренней энергии ТДС.

Для политропных процессов можно считать c_v = const. Тогда

Т₂

∆u = u₂ – u₁ = c_v·∫dT = c_v·(T₂ – T₁). [Дж/кг]

Т₁

При решении практических задач часто используются другие виды полученного выражения. Известно, что

с_v = R/(γ – 1) и p·v = R·T.

С учетом этого

∆u = R·(T₂ – T₁)/(γ – 1) [Дж/кг]

или

∆u = (p₂·v₂ – p₁·v₁)/(γ – 1). [Дж/кг]