Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Опр. интеграл.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Индивидуальные задания

Указания:

1) В задачах на вычисление работы удельный вес воды считать равным 10 кН/м³

2) В задачах на вычисление моментов инерции получить формулы при условии, что задана плотность вещества , из которого сделано тело, и при условии, что задана масса тела .

Вариант 1

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара в виде правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 2 м и высотой 5 м.

8. Найти координаты центра масс однородной полуокружности , расположенной над осью .

9. Найти момент инерции отрезка относительно оси, лежащей с ним в одной плоскости, зная, что конец отрезка А отстоит от оси на а единиц, конец В – на b единиц.

Вариант 2

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

, полярная ось.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара в виде правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 2 м и высотой 6 м, обращенной вершиной вниз.

8. Найти координаты центра масс первой арки циклоиды

9. Найти момент инерции полуокружности радиуса R относительно ее диаметра.

Вариант 3

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

от точки до точки .

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из котла, имеющего форму сферического сегмента, высота которого 1,5 м и радиус 1 м.

8. Найти координаты центра масс дуги астроиды , расположенной в третьем квадранте.

9. Найти момент инерции дуги линии

относительно оси .

Вариант 4

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

отсеченная прямой .

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из полуцилиндра (корыта), радиус основания которого 1 м, длина 5 м.

8. Найти координаты центра масс дуги окружности радиуса , стягивающей центральный угол .

9. Найти момент инерции относительно обеих осей координат одной арки циклоиды .

Вариант 5

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из усеченного конуса, у которого радиус верхнего основания 1 м, нижнего 2 м, высота 3 м.

8. Найти координаты центра масс дуги цепной линии .

9. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами и относительно стороны .

Вариант 6

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

отсеченная прямой .

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из желоба, перпендикулярное сечение которого является параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глубина 4 м.

8. Найти координаты центра масс дуги кардиоиды .

9. Найти момент инерции треугольника с основанием и высотой относительно основания.

Вариант 7

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии;

, отсеченной прямой .

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из цилиндрической цистерны с радиусом основания 1 м, длиной 5 м.

8. Найти координаты центра масс дуги логарифмической спирали .

9. Найти момент инерции четверти кольца, внешний радиус которого R, внутренний радиус относительно его центра.

Вариант 8

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из правильной треугольной пирамиды со стороной основания 2 м и высотой 5 м.

8. Найти координаты центра масс одной арки циклоиды .

9. Найти момент инерции треугольника с основанием и высотой относительно прямой, параллельной основанию, проходящей через вершину.

Вариант 9

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ;

2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из правильной треугольной пирамиды, обращенной вершиной вниз. Сторона основания 4 м, высота 6 м.

8. Найти координаты центра масс дуги астроиды , расположенной в первом квадранте.

9. Найти момент инерции треугольника с основанием a и высотой h относительно прямой, параллельной основанию, проходящей через центр тяжести.

Вариант 10

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из конуса, обращенного вершиной вниз. Радиус основания конуса 3 м, высота 5 м.

8. Найти координаты центра масс дуги кривой: .

9. Найти момент инерции кольца, внешний радиус которого , внутренний радиус относительно его центра.

Вариант 11

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) y = 4x – 8;

3) ;

4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

от точки до точки .

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат: .

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из усеченного конуса, у которого радиус верхнего основания 3 м, нижнего – 1 м, высота 3 м.

8. Найти координаты центра масс кардиоиды .

9. Найти момент инерции полукруга радиуса R относительно его диаметра.

Вариант 12

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

, отсеченная прямой .

7. Высота правильной четырехугольной пирамиды Хеопса 140 м, ребро основания 200 м, удельный вес камня, из которого она сделана, равен 250 Н/м³. Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести.

8. Найти координаты центра масс кривой от точки до точки .

9. Найти момент инерции круга радиуса R относительно его центра.

Вариант 13

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ;

2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высотой 5 м, имеющего радиусы оснований 4 м и 1 м. Удельный вес песка 20 Н/м³. (Песок поднимают с поверхности земли, на которой покоится большее основание).

8. Найти координаты центра масс дуги развертки окружности:

9. Найти момент инерции эллипса с полуосями и относительно обеих его осей.

Вариант 14

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из параболоида вращения, радиус основания которого 2 м, высота 2 м.

8. Найти координаты центра масс кривой , заключенной между лучами .

9. Найти момент инерции эллипса с полуосями и относительно его центра.

Вариант 15

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

полярная ось.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из половины эллипсоида вращения, радиус основания которого 1 м, высота 1 м.

8. Найти координаты центра масс кривой:

9. Найти момент инерции цилиндра, радиус основания которого , высота , относительно его оси.

Вариант 16

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

вокруг асимпоты.

)

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

отсеченная прямой .

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из правильной четырехугольной усеченной пирамиды со стороной верхнего основания 2 м, нижнего 4 м и высотой 1 м.

8. Найти координаты центра масс треугольника, стороны которого лежат на прямых .

9. Найти момент инерции конуса, радиус основания которого , высота , относительно его оси.

Вариант 17

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ;

2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

между точками пересечения с осью .

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) полярная ось;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

отсеченная прямой .

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания 1 м и высотой 2 м.

8. Найти координаты центра масс плоской фигуры, ограниченной эллипсом и осями координат .

9. Найти момент инерции шара радиуса относительно его диаметра.

Вариант 18

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из правильной шестиугольной пирамиды, обращенной вершиной вниз. Сторона основания 2 м и высота 6 м.

8. Найти координаты центра масс плоской фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды

и осью .

9. Эллипс вращается вокруг одной из своих осей. Найти момент инерции эллипсоида вращения относительно оси вращения.

Вариант 19

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

, полярная ось.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из цилиндра, радиус основания которого 1 м, высота 3 м.

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченой кривыми .

9. Найти момент инерции относительно оси вращения параболоида вращения, радиус основания которого , высота .

Вариант 20

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

, полярная ось.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из правильной шестиугольной усеченной пирамиды со стороной верхнего основания 1 м, нижнего 2 м и высотой 2 м.

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченной дугой синусоиды и отрезком оси .

9. Найти момент инерции относительно оси тела, ограниченного однополостным гиперболоидом и плоскостями .

Вариант 21

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) , (развертка круга), ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из желоба, перпендикулярное сечение которого является полуокружностью радиуса 1 м. Длина желоба 10 м.

8. Найти координаты центра масс плоской фигуры,

ограниченной полуокружностью и осью .

9. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями , вращается вокруг оси .

Найти момент инерции получающегося тела относительно оси вращения криволинейной трапеции.

Вариант 22

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

от точки до точки .

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

, полярная ось.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из правильной шестиугольной усеченной пирамиды со стороной верхнего основания 2 м, нижнего – 1 м и высотой 2 м.

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченной дугой параболы , , осью и прямой .

9. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями , вращается вокруг оси . Найти момент инерции получающегося тела относительно оси вращения.

Вариант 23

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) .

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

, полярная ось.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из полусферы радиуса 2 м.

9. Найти момент инерции боковой поверхности цилиндра (тонкой трубы) радиус основания которого , высота , относительно его оси.

Вариант 24

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ;

2) ; 3) ;

4) (лист Декарта), (перейти к полярным координатам).

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание жидкости, удельный вес которой γ = 24 кН/м³, из правильной четырехугольной усеченной пирамиды со стороной верхнего основания 2 м, нижнего 4 м и высотой 2 м.

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченной замкнутой линией .

9. Найти момент инерции боковой поверхности конуса (воронки) радиус основания которого , высота , относительно его оси.

Вариант 25

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ;

2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание жидкости из правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания 1 м, высотой 2 м, удельный вес жидкости γ = 24 кН/м³.

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченной осями координат и дугой астроиды , расположенной в первом квадранте.

9. Найти момент инерции поверхности шара (сферы) радиуса относительно его диаметра.

Вариант 26

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ;

2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

(петля).

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

, полярная ось.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание жидкости из правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 2 м и высотой 4 м, удельный вес жидкости γ = 24 кН/м³.

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченной сектором круга радиуса с центральным углом, равным .

9. Найти момент инерции однородной дуги астроиды , расположенной в первой четверти.

Вариант 27

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ;

2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

между прямыми .

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из правильной шестиугольной усеченной пирамиды со стороной верхнего основания 1 м, нижнего – 2 м и высотой 2 м.

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченной кардиоидой .

9. Найти момент инерции относительно оси окружности .

Вариант 28

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание жидкости из правильной треугольной пирамиды со стороной основания 3 м и высотой 6 м, удельный вес жидкости γ = 20 кН/м³.

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченной первой петлей лемнискаты Бернулли

9. Найти момент инерции четверти окружности , расположенной в первом координатном углу, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки.

Вариант 29

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ; 2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание жидкости из конуса, радиус основания которого равен 2 м, высота 3 м, удельный вес жидкости γ = 20 кН/м³.

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченной осями координат и кривой .

9. Найти момент инерции окружности относительно ее диаметра.

Вариант 30

1. Вычислить определенные интегралы:

; ; .

2. Вычислить несобственные интегралы:

; ; .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

4. Вычислить длину дуги данной линии:

от точки до точки .

5. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указанной оси:

1) ;

2) .

6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой вокруг указанной оси координат:

, полярная ось.

7. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание жидкости из усеченного конуса, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего 2 м, высота 2 м, удельный вес жидкости γ = 21 кН/м³

8. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры, ограниченной полукубической параболой

и прямой .