ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

Кафедра высшей

математики

Определенный интеграл

Учебные задания и методические указания

для студентов всех специальностей

НОВОСИБИРСК 2007

Учебные задания и методические указания разработаны

канд. физ.-мат. наук, доцентом И.М. Бондарем,

канд. физ.-мат. наук, доцентом Ю.М. Вахромеевым,

ст. преподавателем Г.К. Шевелиной,

ассистентом А.И. Бондарем

Утверждены методической комиссией

ФПСВО

31 Мая 2007 года

Рецензенты:

− В.А. Юдин, д-р физ.-мат. наук, профессор

кафедры теоретической механики

НГАСУ (Сибстрин);

− Л.Б. Бодрецова, канд. физ.-мат. наук,

доцент кафедры высшей математики

НГАСУ (Сибстрин)

© Новосибирский государственный

архитектурно-строительный

университет (Сибстрин), 2007

Составители

Иван Михайлович Бондарь

Юрий Михайлович Вахромеев

Галина Константиновна Шевелина

Алексей Иванович Бондарь

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

Учебные задания и методические указания

для студентов всех специальностей

Редактор Г.К. Найденова

Санитарно-эпидемиологическое заключение

№ 54.НС.05.953.П.006252.06.06 от 26.06.2006 г.

Подписано к печати 18.07.2007. Формат 60x84 1/16 д.л.

Гарнитура Таймс.

Бумага газетная. Ризография.

Объем 6 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)

630008, Новосибирск, ул. Ленинградская, 113

О тпечатано мастерской оперативной полиграфии

НГАСУ (Сибстрин)

Тема «Определенный интеграл и его приложения» является одной из основных в математической подготовке инженера-строителя. Знания, полученные по этой теме, используются студентами при изучении разделов физики, электротехники, теоретической и строительной механики и других дисциплин.

Основная цель методических указаний – разработка индивидуальных заданий по теме «Определенный интеграл и его приложения». Для облегчения самостоятельной работы студентов над индивидуальными заданиями в методические указания включены необходимые определения, формулы и примеры решения задач по всем темам индивидуального задания. Большая часть примеров посвящена механическим приложениям определенного интеграла, так как этому важному разделу уделяется недостаточно внимания как на аудиторных занятиях со студентами, так и в учебно-методической литературе.

1. Несобственные интегралы

Если в интеграле функция имеет разрыв на [a, b] или хотя бы одна из границ a или b есть бесконечность , то интеграл называется несобственным.

1. Несобственный интеграл первого рода (интеграл с бесконечным промежутком интегрирования)

Пусть функция непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

Таким образом, по определению

.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

,

где – произвольное число.

Интеграл слева сходится только тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение. Область определения подынтегральной функции , т.е. . Следовательно, непрерывна на как элементарная функция.

.

Ответ: Несобственный интеграл расходится.

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение. не принадлежит интервалу интегрирования . Следовательно, функция непрерывна в области интегрирования.

.

Ответ: Несобственный интеграл равен 1.

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение. Функция непрерывна на как элементарная функция.

.

.

Ответ: Данный интеграл расходится, так как первый интеграл справа расходится.