Глава XVI Случайные события
Комбинаторика. Алгебра событий.
Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном подсчете вероятностей.
Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех различных размещений определяется формулой:
.
Сочетаниями из n различных элементов по k называют множества, содержащие k элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Количество различных сочетаний определяется формулой:
.
Перестановки. Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками. Количество различных перестановок n элементов определяется формулой:
.
Пример.
В урне 3 шара с номерами 1, 2, 3. Из урны один за другим извлекаются два шара. Определить число всех возможных пар шаров.
Решение.
Общее число пар равно числу размещений из трех элементов по два.
.
Этот результат можно получить и простым перебором. Перечислим возможные комбинации: (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2).
Пример.
В
урне 3 шара с номерами 1, 2, 3. Из урны один
за другим извлекаются три шара. Определить
число всех возможных троек
шаров.
Решение.
Число
всех троек равно
.
Или (1, 2,3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2,1).
Пример.
В урне 9 шаров с номерами 1, 2, … 9.
а) из урны один за другим извлекаются три шара. Номера записываются в порядке появления шаров. Определить число всех возможных вариантов получаемых трехзначных чисел;
б) из урны извлекаются три шара одновременно. Определить число всех возможных троек;
в) из урны один за другим извлекаются все шары. Определить число всех возможных вариантов получаемых девятизначных чисел.
Решение.
а)
; б)
;
в)
.
Задачи.
16.1. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию «на обоих кубиках выпало одинаковое число очков» при подбрасывании двух игральных кубиков?
Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует больше элементарных исходов: «сумма выпавших очков равна 7» или «сумма выпавших очков равна 8»?
Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?
Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?
Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?
В урне 15 белых и 5 черных шаров. Из урны извлекаются 5 шаров. В полученной группе 2 белых шара. Определить число всех возможных вариантов появления такой группы шаров.
Определить число всех вариантов размещения r шаров по n урнам.
На 10 карточках записаны цифры 0, 1, 2, … 9. Берут 4 карточки и составляют из цифр, написанных на них, четырехзначное число. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить таким образом?
Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 так, чтобы в каждую дробь входило два числа?
Сколькими способами можно из 40 человек, поступающих в вуз, создать 4 группы специальностей по 10 человек в каждой?
Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников, 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?