Примеры решения задач

Пример 1. Получена таблица частот оценок по контрольной работе у 40 учащихся класса:

оценка	2	3	4	5
частота	3/40	8/40	25/40	4/40

Найдите: 1) выборочное среднее значение оценки; 2) выборочную дисперсию; 3) исправленную выборочную дисперсию; 4) выборочное среднее квадратическое отклонение; 5) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; 6) моду; 7) медиану.

Решение.

1) по формуле получаем: ;

2) выборочная дисперсия рассчитывается как:

3) исправленную выборочную дисперсию вычислим по формуле:

4) выборочное среднеквадратическое отклонение найдем как:

;

5) исправленное выборочное среднеквадратичное отклонение

;

6) Mo= 4 (варианта с наибольшей вероятностью).

7) Me = (3+4)/2=3,5.

Пример 2.Случайная величина Х имеет распределение Пуассона . Найти оценку параметра  двумя способами.

Решение.

а) в качестве начального момента возьмем ₁, получим:

т.к. то ;

б) затем в качестве начального момента возьмем ;

получим: , т.е. . Решая квадратное уравнение ²+-₂=0 относительно , получаем .

Эту оценку можно переписать в виде:

.

Получили разные оценки . Предпочтительнее первая оценка: как более простая соответствующая смыслу параметра пуассоновского распределения. , поэтому за естественно принять - хорошую точечную оценку математического ожидания. Следует заметить, что не все получаемые методом моментов оценки обладают свойствами “хорошей оценки”.

Пример 3.Производились измерения специальной меры длины. Результаты измерения приведены в следующей таблице:

Порядковый номер измерения	Отклонение от номинального размера , мкм
	Прибор-1	Прибор-2	Прибор-3	Прибор-4
1	10,3	10,8	9,9	11,3
2	10,5	11,2	10,6	11,1
3	-	10,7	-	10,4
сумма	20,8	32,7	20,5	32,8

При этом известно, что дисперсии погрешностей измерений на применявшихся приборах имели следующие значения в мк²:

Т ребуется оценить значение математического ожидания действительного размера меры.

Решение.

Имеется 10 результатов измерений, которые получены на четырех различных приборах, поэтому некоторые измерения имеют одинаковые дисперсии.

Оценка математического ожидания случайной величины X может быть вычислена по формуле: . Эта оценка m_x при неравноточных измерениях обладает свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

По формуле найдем вес каждого измерения:

Их сумма:

Поэтому

Пример 4.Дана интервальная таблица частот для случайной величины X, равной весу новорожденных детей:

Интервалы(кг)	1-1,5	1,5-2	2-2,5	2,5-3	3-3,5	3,5-4	4-4,5	4,5-5
Частоты i	0,01	0,02	0,05	0,15	0,35	0,28	0,12	0,02

Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения, моды и медианы, если известно, что объем выборки равен 100.

Решение.

Если изучаемая случайная величина непрерывная с интервалом таблицей частот:

C1-C2	C2-C3	…	Cm-Cm+1
1	2		m

То для вычисления в качестве x_i берут середину интервала [C_i; C_i+1];

Преобразуем таблицу:

Интервалы, кг	1-1,5	1,5-2	2-2,5	2,5-3	3-3,5	3,5-4	4-4,5	4,5-5
Середины интервалов, кг	1,25	1,75	2,25	2,75	3,25	3,75	4,25	4,75
Частоты i	0,01	0,02	0,05	0,15	0,35	0,28	0,12	0,02

;

В данном случае модальным интервалом является интервал (3 – 3,5), поскольку он имеет наибольшую частоту – 0,35.

кг

Интервал, в котором содержится значение 2,765 кг – медианный.

кг.

Пример 5. Дана выборка объемом 10: 4, 6, 2, 2, 8, 6, 4, 2, 2, 4. Найти оценки: 1) начальных и центральных моментов первых четырех порядков; 2) асимметрии и эксцесса этой выборки.

Решение.

Составим дискретный вариационный ряд:

xi	2	4	6	8
ni	4	3	2	1
ωi	0.4	0.3	0.2	0.1

Оценочные значения начальных моментов вычислим, используя формулу:

=(2·4 + 4·3 + 6·2 + 8·1)/10 = 4;

= (2²·4 + 4²·3 + 6²·2 + 8²·1)/10 = 20;

= (2³·4 + 4³·3 + 6³·2 + 8³·1)/10 = 116,8;

= (2⁴·4 + 4⁴·3 + 6⁴·2 + 8⁴·1)/10 =752;

Для вычисления центральных моментов воспользуемся формулами связи их сначальными. m₁=0, m₂=α₂-α₁², m₃=α₃-3α₂α₁+2α₁³, m₄=α₄-4α₁α₃+6α₁²α₂-3α₁⁴, и т.д.

= 0;

= 20 – 4² = 4;

= 116,8 - 3·4·20 + 2·4³ = 4,8;

= 752 - 4·4·116,8 + 6·4²·20 -3·4⁴ = 35,2.

Известно, что является дисперсией распределения Х, тогда среднеквадратическое отклонение для данной выборки равно .

Поэтому асимметрия , а эксцесс