Определение числовых характеристик сb по неравномерным распределениям

Рассмотрим определение приближенного значения математического ожидания m_x некоторой величины Х по неравноточным измерениям, т.е. по измерениям, каждое из которых характеризуется своей величиной рассеивания.

Пусть мы имеем серию х₁, х₂, …, х_n независимых измерений одной и той же величины Х, дисперсии которых соответственно равны .

Требуется по результатам измерений найти оценку , удовлетворяющую свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Искомая оценка является функцией результатов измерений, т.е. .

Известно, что наиболее простой функциональной зависимостью является линейная зависимость. Поэтому будем искать нужную функцию в виде

, (12)

где с₁,с₂,…с_n – некоторые постоянные коэффициенты, которые следует определить таким образом, чтобы оценка (12) удовлетворяла условию несмещенности и обладала наименьшей дисперсией.

Условие несмещенности выполняется, если

.

Так как результаты измерений х₁,х ₂,…,х_n не имеют постоянной погрешности, то

Следовательно, чтобы оценка удовлетворяла условию несмещенности, необходимо выполнение равенства

(13)

Теперь будем выбирать коэффициенты с_i(i=1, 2, …, n) так, чтобы дисперсия оценки (12), была минимальной, т.е. чтобы оценка была эффективной. Дисперсия оценки , согласно свойству дисперсии, равна

(14)

Исследуем выражение (14) на минимум. Ввиду того, что на коэффициенты C_iуже наложено условие (13), исследуем выражение на условный минимум, применяя метод множителей Лагранжа:

Вычисляем частные производные

Приравняв правую часть нулю и решив полученное уравнение относительно с_i, находим:

Обозначая , будем иметь: .

Подставив найденное значение С_i в равенство (13), получим: Отсюда Подставив полученное значение с_i в формулу (12), будем иметь:

(15)

Проверим теперь, является ли оценка также и состоятельной. Для этого найдем дисперсию величины .

но (согласно обозначению) поэтому

Поскольку ряд при n расходится (не выполняется необходимый признак сходимости ряда), то при n . Это значит, что функция , определяемая выражением (15), является оценкой m_x.

Таким образом, оценка

для математического ожидания m_x измеряемой величины Х при неравноточных измерениях обладает свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Величину

(16) принято называть весом i-го измерения.

Из выражения (16) видно, что чем больше дисперсия , тем меньше вес g_i результата измерения х_i.

Оценки моментов случайной величин

Обобщением основных числовых характеристик случайных величин является понятие моментов случайной величины.

В теории вероятностей различают моменты следующих видов: начальные, центральные и условные.

Оценкой момента m_k порядка k распределения Х является средняя арифметическая степень k отклонения , где l есть произвольно выбранная константа:

(17)

Момент является начальным (обозначается такой момент ), если l=0, центральным (обозначается ), если и условным (обозначается ), если .

Моменты начальные и центральные являются частными случаями формулы (17).

Начальные моменты высших порядков используются главным образом для вычисления центральных моментов. Моменты центральные применяются в анализе эмпирических распределений для характеристики дисперсии, асимметрии и эксцесса.

Из начальных моментов случайной величины особое значение имеет момент первого порядка (k =1), который представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины.

Центральный момент первого порядка (k =1) всегда равен нулю. Среди центральных моментов особое положение занимает центральный момент второго порядка, который имеет смысл дисперсии случайной величины.

В случае симметричного распределения нечетные центральные моменты равны нулю. Поэтому если третий центральный момент не равен нулю, то это свидетельствует об асимметрии (“скошенности”) распределения. Так как третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, то обычно рассматривают безразмерную величину – отношение ₃ к среднему квадратическому отклонению в третий степени

Величина a_xносит название коэффициента асимметрии.

Рис. 1 Рис. 2

На рис.1 кривая распределения имеет положительную асимметрию (a_x>0), а на рис.2 кривая распределения имеет отрицательную асимметрию (a_x<0).

Четвертый центральный момент служит для характеристик островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины X называется величина

(18)

Число 3 вычисляется из отношения потому, что для наиболее распространенного нормального закона распределения .

Кривая нормального распределения, для которого эксцесс равен нулю, принята как бы за эталон, с которым сравниваются другие распределения. Кривые более островершинные имеют положительный эксцесс, кривая более плосковершинная – отрицательный эксцесс.

Заметим, что при увеличении числа наблюдений все статистические характеристики будут сходиться по вероятности к соответствующим числовым характеристикам случайной величины и при достаточном n могут быть приняты приближенно равным им.