Часть I
Аналитическое описание функции:
Практическая часть.
1. Построим периодическое продолжение с периодом Т = 2 функции , заданной на отрезке [0;2]:
Рис. 1.
Проверим достаточные условия разложения 2- периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.
Функция имеет период 2, кроме того на отрезке [-1;1]
непрерывна
на интервалах (-1,0) и (0,1) и имеет конечное
число точек разрыва первого рода: х =
-1, х = 0, х = 1; ее производная
на отрезке [-1;1] непрерывна на интервалах
(-1,0) и (0,1) и имеет конечное число точек
разрыва первого рода: х = -1, х = 0, х = 1.
Следовательно, ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х.
Представим данную функцию рядом Фурье общего вида.
Ряд Фурье
l = T/2 = 2/2 = 1
Представим ряд Фурье в тригонометрической форме:
Определить значения разложения в точках разрыва и на концах периодов. Т.е. в точках x = 2k и x = 1 + 2k.
Изобразим график суммы ряда Фурье периодически продолженной функции (рис. 2).
Рис.2
График суммы ряда Фурье периодически продолженной функции
График суммы первых 10 гармоник представлен на рис.3
Рис.3
2. Построим четное продолжение на отрезок [-2;0] функции функции ,
заданной на отрезке [0;2].
Рис.4
Построим периодическое продолжение с периодом Т = 4 функции, полученной на отрезке [-2;2].
Рис.5
Проверим достаточные условия разложения 4- периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.
Функция
имеет период 4, кроме того на отрезке
[-2;2]
непрерывна на интервалах [-2, -1), (-1, 1),
(1,2] и имеет конечное число точек разрыва
первого рода, а именно две: х = -1, х = 1; ее
производная
на отрезке [-2;2] непрерывна на интервалах
[-2, -1), (-1, 1), (1,2] и имеет конечное число
точек разрыва первого рода, а именно
три: х = -1, х = 0, х = 1.
Следовательно, ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х.
Найдем коэффициенты ряда Фурье и запишем разложение.
Ряд Фурье
l = T/2 = 4/2 = 2
Определим значения разложения в точках разрыва и на концах периодов. Т.е. в точках
х = -1 + 4k, x = 1 + 4k и x = 2 + 4k.
Изобразим график суммы ряда Фурье периодически продолженной функции (рис. 7).
Рис.7
График суммы ряда Фурье периодически продолженной функции
График суммы первых 5 гармоник представлен на рис.8
Рис.8
3. Построим нечетное продолжение на отрезок [-2;0] функции функции , заданной на отрезке [0;2].
Рис.9
Построим периодическое продолжение с периодом Т = 4 функции, полученной на отрезке [-2;2].
Рис.10
Проверим достаточные условия разложения 4- периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.
Функция
имеет период 4, кроме того на отрезке
[-2;2] она непрерывна на интервалах [-2,
-1), (-1, 1), (1,2] и имеет конечное число точек
разрыва первого рода, а именно две: х =
-1, х = 1; ее производная
на отрезке [-2;2] непрерывна на интервалах
[-2, -1), (-1, 1), (1,2] и имеет конечное число
точек разрыва первого рода, а именно
две: х = -1, х = 1.
Следовательно, ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х.
Найдем коэффициенты ряда Фурье и запишем разложение.
Ряд Фурье
l = T/2 = 4/2 = 2
Определим значения разложения в точках разрыва и на концах периодов. Т.е. в точках
х = -1 + 4k, x = 1 + 4k и x = 2 + 4k.
Изобразим график суммы ряда Фурье периодически продолженной функции (рис. 11).
Рис.11
График суммы ряда Фурье периодически продолженной функции
График суммы первых 5 гармоник представлен на рис.12
