Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

Курсовая работа

по математическому анализу

Вариант № 16

Выполнил: студент гр.

Проверил:

Москва 2011/12 уч. год

Оглавление

Теория……………………………………………………………………..……3

Практическая часть………………………………………………………..…9

Теория.

Точки разрыва и их классификация

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки _. Из приведенного ранее определения точки разрыва функции получаем, что точка является точкой разрыва функции f(x), если выполняется одно из условий: или функция f(x) определена в точке , но не является непрерывной в этой точке, или функция f(x) не определена в точке _.

В первом случае точка принадлежит области определения функции, во втором случае не принадлежит области определения функции. Заметим, что для основных элементарных функций возможен только второй случай.

Пусть — точка разрыва функции f(x). При этом называется точкой разрыва первого рода, если функция f(x) имеет конечные пределы справа и слева в этой точке. Во всех остальных случаях называется точкой разрыва второго рода. Если точка разрыва первого рода функции f(x) то график этой функции в точке хо может иметь лишь конечный скачок (см. рис. 1). Если же - точка разрыва второго рода функции f(x), то по крайней мере один из пределов справа или слева в точке не существует или равен бесконечности.

Основные сведения

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период .

3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

(1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

, где n=1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ ] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).