23(10). Задача Коши для дифференциального уравнения и для системы дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности решения. Случай линейных уравнений и систем.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:F(x, у(x), у'(x), y''(x), …, у⁽ⁿ⁾(x))=0(1),где F-известная функция от независимой переменной х, искомой функции у (х) и производных этой функции до n -го порядка. Порядком обыкновенного ДУ наз. наивысший порядок производной, которая содержится в этом ур-ии. Иногда в ДУ вида (1) вместо производной исходной ф-ции записываются их дифференциалы, то порядком уравнения называется наивысший порядок дифференциала. Ф-ция у (х) наз. решением (интегралом) ДУ (1) n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале I и на нем уравнение (1) обращает в тождество. Ф-ция у= (х, С₁,…, С_n) - наз. общим решением ДУ (1) области G, где определено это уравнение, если при соответствующем выборе постоянных С₁,…, С_n функция  обращается в любое решение этого уравнения график, которой лежит в заданной области G. Уравнение Ф (х, у, С₁,…, С_n)=0 наз общим интегралом ур-ния (1) в области G, если при соответствующем выборе постоянных С₁,…, С_n это ур-ние дает любую интегральную линию проходящую в области G. Общий интеграл ДУ (1) отличается от общего решения этого ур-ния, тем, что в общем решении искомая функция явно выражается через независимую переменную х и произвольные переменные, а общий интеграл ДУ (1) задает решение этого ур-ния (1) задает решение этого ур-ния в неявном виде. Среди общих решений ДУ выделяют частные решения и особые решения. Частным реш - решение ДУ (1), которое получается из общего реш путем подстановки вместо произвольных постоянных С₁,…, С_n их значений, при этом, очевидно, каждому конкретному набору значений произвольных постоянных С₁,…, С_n соответствует единственное решение. ДУ могут иметь решения которые нельзя отнести к частным ни при каких значениях произвольных постоянных С₁,…, С_n. А это значит, что в каждой точке такого решения нарушается единственность. Такое решение называется особым. Особое значение в теории ДУ играет задача Коши. Смысл её состоит в следующем. Найти решение ДУ удовлетворяющее условиям: у=у₀, у'=y'₀, …, y^(n-1)=y^(n-1)₀, x=x₀, где у₀,y'₀, …, y^(n-1)₀ - заданные числа, которые называются начальными условиями. А задачу Коши иногда называют начальной задачей. Решить задачу Коши для данного ДУ значит найти решение этого уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям. Для уравнения первого порядка вида(1) геометрический смысл решения задачи Коши заключается в том, чтобы из семейства интегральных кривых удовлетворяющих данному уравнению выделить конкретную кривую, проходящую через точку с координатами (y₀ , x₀). Если заданно ДУ второго порядка, то в качестве начальных условий берут значение независимой переменой х₀, искомой функции у₀ и производной этой функции у'₀. Решение задачи Коши для уравнения n-ого порядка вида(1) заключается в том, что должны быть известны значения независимой переменной х₀, искомой функции у₀ и всех производных до (n-1) порядка включительно. Смысл решения задачи Коши для данного уравнения состоит в том, чтобы определить, исходя из начальных условий, значения произвольных постоянных. Чтобы проверить, что данная функция является решением ДУ n-ого порядка достаточно значение этой функции и всех её производных до n-ого порядка подставить в заданное ДУ. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши: =f(x,y) Если функция F(x,y) определена и непрерывна в области DR² и дифференцируема по у, то в окрестности т. х₀ существует единственное решение у=у(х), удовлетворяющее начальным условиям у(х₀)=у₀ при этом (x₀;y₀)D. Сис-ма n ОДУ: (1), где х-нез-я перем-я, уi-искомые ф-ии, заданы их произв-е до пор i, Фi – изв. ф-и от своих арг-ов.

Такие системы будем записывать: =f₁(x, y₁, y₂, …,y_n). Система функций y₁(х),…,y_n(х), которая удовлетворяет нормальной системе уравнений (3) будем наз решением этой системы. При этом уравнения y_i=y_i(х) i= определяют некоторую линию, которая наз интегральной линией системы (3). Система функций y_i=y_i(x, c₁, c₂,…, c_n) i= наз общим решением системы (3) в области G. Задача Коши для системы: Найти решение yi(x) i= системы (3) удовлетворяющее начальным условиям y₁=y₁₀,…y_n=y_n0 при х=х₀, где у_i0 (i= ) и х₀ - заданные действительные числа. Теорема (существования и единственности решения): Пусть дана система ДУ вида (5), где =(x₁, x₂, …, x_n), f=(f₁(t, ),…, f_n(t, )). непрерывны по всем своим аргументам и непрерывно дифференцируемы по зависимым переменным в области Dⁿ⁺¹ _t, . Выбраны начальные условия (t₀,x₁₀,x₂₀,…,x_n0) D_t, , тогда система (5) имеет единственное векторное решение, которое удовлетворяет начальным условиям x_i(t₀)=x_i0 i= на интервале I=(x₀-,x₀+)

Линейным ДУ первого порядка наз уравнение линейное относительно искомой функции и ее первой производной. Его можно записать в виде: +p(x)*y=f(x) (1), где p(x) и f(x)-непрерывные функции в области интегрирования данного уравнения. Линейной однородной системой n ДУ с n неизвестными функциями наз система вида:

=p₁₁(x)*y₁+ p₁₂(x)*y₂+ …+ p_1n(x)*y_{n ...} =p_n1(x)*y₁+ p_n2(x)*y₂+ …+ p_nn(x)*y_n где p_ij, i,j= являются непрерывными функциями от х, определенными на некотором интервале (а,b). Краткая запись: (1) k= . Решением систем (1) и (2) наз функции y_i=y_i(х) i= , которые каждое уравнение системы обращают в тождество. Общее решение (2) представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и какого-либо частного решения (2). Подобно, как и для лин уравнений n-го порядка для системы неоднородных уравнений решение можно находить с помощью метода вариации произвольных постоянных.

Т. сущ-я и ед-ти для линейного ДУ п-го пор: (з-ча Коши – найти реш-е ДУ , удовл нач усл-м пусть непр вместе со своими част производными в обл-ти G и т-ка с нач усл-ми тогда реш-е з-чи Коши сущ-т на некот интервале интервале и реш-е единственно на I.

24(11). Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения и системы уравнений с постоянными коэффициентами. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:F(x, у(x), у'(x), y''(x), …, у⁽ⁿ⁾(x))=0(1),где F-известная функция от независимой переменной х, искомой функции у (х) и производных этой функции до n -го порядка. Порядком обыкновенного ДУ наз. наивысший порядок производной, которая содержится в этом ур-ии. Иногда в ДУ вида (1) вместо производной исходной ф-ции записываются их дифференциалы, то порядком уравнения называется наивысший порядок дифференциала. Ф-ция у (х) наз. решением (интегралом) ДУ (1) n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале I и на нем уравнение (1) обращает в тождество. Ф-ция у= (х, С₁,…, С_n) - наз. общим решением ДУ (1) области G, где определено это уравнение, если при соответствующем выборе постоянных С₁,…, С_n функция  обращается в любое решение этого уравнения график, которой лежит в заданной области G. Уравнение Ф (х, у, С₁,…, С_n)=0 наз общим интегралом ур-ния (1) в области G, если при соответствующем выборе постоянных С₁,…, С_n это ур-ние дает любую интегральную линию проходящую в области G. Общий интеграл ДУ (1) отличается от общего решения этого ур-ния, тем, что в общем решении искомая функция явно выражается через независимую переменную х и произвольные переменные, а общий интеграл ДУ (1) задает решение этого ур-ния (1) задает решение этого ур-ния в неявном виде. Среди общих решений ДУ выделяют частные решения и особые решения. Частным реш - решение ДУ (1), которое получается из общего реш путем подстановки вместо произвольных постоянных С₁,…, С_n их значений, при этом, очевидно, каждому конкретному набору значений произвольных постоянных С₁,…, С_n соответствует единственное решение. ДУ могут иметь решения которые нельзя отнести к частным ни при каких значениях произвольных постоянных С₁,…, С_n. А это значит, что в каждой точке такого решения нарушается единственность. Такое решение называется особым. 1.Уравнение вида M(x)*N(у)dx=P(x)*Q(у)dy в где M,N,P,Q непрерывные й-циисвоих аргументов. –называются уравнением с разделяющимися переменными.Решение: Разделим на N(y)P(x),где N и P не равны 0. Получим -> -общий интеграл уравнения. Проинтегрировав получим решение. 2. Уравнение - однородное ДУ 1-го порядка явл однородной ф-цией или представл собой отношение 2-ух однородных. f(x,y) – однородная, если для любого t из R имеет место . Решение:Введя замену y=tx -> -> -> -> -> g(z)=c/x -> z=g^-1(c/x) -> y=x g^-1(c/x) - общее решение ОДУ. 3.Линейным ДУ первого порядка наз ур-е лин-е отн-но искомой ф-ии и ее 1-й произв: =p(x)*у+f(x) (1), где p(x) и f(x)-непр ф-ии в обл интегр-я ур-я. Решение: Рассматриваем +p(x)*у=0, dy/y=p(x)dx, , -общее решение. Пусть C зависит от х: . Найдем C(x) в явном виде , , т.к y_но=у_оо+у_чн. , _. Этот метод решения лин ДУ первого порядка наз методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа. Уравнение вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) наз уравнением в полных дифференциалах, где M(x,y) и N(x,y)- непрерывные функции и дифференцируемые по х и по у, а левая часть явл полным дифференциалом некоторой функции.Для того чтобы левая часть (1) являлась полным дифференциалом некоторой функции необходимо и достаточно чтобы .(2) В некоторых случаях, когда (2) не выполняется, можно подобрать такую функцию (x,y), что после умножения левой и правой части на которую получим уравнение в полных дифференциалах. Такая функция наз интегрирующим множителем. Линейное однородное ДУ с постоянными коэффициентами будем записывать в виде: y⁽ⁿ⁾+a₁*y^(n-1)+…+a_n*y=0 (1)a_i=const i= . Для нахождения общего решения (1) достаточно найти фундаментальную систему ее решений. Для этого воспользуемся подстановкой y=e^x, где -постоянное число. Получим алгебраическое уравнение относительно , которое наз характеристическим уравнением. 1)корни уравнения различны, действительны и не кратны: y=C₁*e^₁^x+C₂e^₂^x+…+C_ne^_n^x. 2) ₁-корень кратности к>1 y=C₁*e^₁^x+xC₂e^₂^x+…+x^k-1C_ke^₁^x. 3) корни хар-кого уравнения различны, но среди них есть комплексные _k=a+bi: y=e^x( C1sin(bx)+ C₂cos(bx)) 4)среди корней хар-кого уравнения имеются k-кратные корни: y=e^x((C1+C₂x+…+C_kx^k-1) cos(bx) +(C_k+1+…+C_2kx^k-1) sin(bx)).Уравнение вида: y⁽ⁿ⁾+a₁*y^(n-1)+…+a_n*y=f(x) (2) a_i=const i= , f(x)-непрерывная функция на некотором интервале I наз линейным неоднородным ДУ с постоянными коэффициентами. Его общее решение находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и одного частного решения уравнения (1). В зависимости от вида правой части ЛНДУ частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов. Линейной системой ДУ с постоянными коэффициентами наз система вида: (1) k= , где a_ki- действительные числа, а f_k(x)-функции непрерывные на некотором промежутке I. Система вида (2) k= наз однородной лин системой ДУ с постоянными коэффициентами. Решением систем (1) и (2) наз функции y_i=y_i(х) i= , которые каждое уравнение системы обращают в тождество. Чтобы найти общее решение (2) достаточно определить фундаментальную систему ее решений для этого используем формулы Эйлера. y_i=_ie^x, i= , где _i-постоянные числа не равные 0. Подставив, получим: (a₁₁-)₁+a₁₂₂+…+a_1n_n=0, a₂₁₁+(a₂₂-) ₂+…+a_2n_n=0, a_n1 ₁+a_n2₂+…+(a_nn-) _n=0. Система (3) как однородная всегда имеет нулевое решение, для того чтобы было ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель равнялся 0. =0 (4) наз характеристическим уравнением системы (2). Из (4) находим , а из (3) находим _i. 1)корни хар-го уравнения действительны и различны, то общее решение (2) имеет вид: . 2)корни уравнения различны, но среди них есть комплексные(a+bi): y_1i= С_j*e^ax(_1j*cos(bx)- _2j*sin(bx)) и y_2i= C_je^ax(_1j*sin(bx)+ _2j*cos(bx)), i= .3)корни различны, но среди них есть k-кратные:y_1i= С_j*e^ax(p1_j(x)*cos(bx)-p2_j(x)*sin(bx)) и y_2i= C_je^ax(p1_j(x)*sin(bx)+ p2_j(x)*cos(bx)), i= .

25(13). Метод Фурье разделения переменных и его применение в реш-и краевых з-ч для ДУЧП.ДУЧП 2-го порядка(т.е.искомая ф-ия зависит только от 2-х независ. перемен.(x,y)),им.вид:a₁₁ ²u/ x²+2a₁₂ ²u/( x y)+a₂₂ ²u/ y²+b₁ u/ x+b₂ u/ y+cu =f(x,y),a₁₁,a₁₂,a₂₂,b₁,b₂,c–коэф.,явл.веществ.числами.Если f(x,y)0,то ур-е наз. однородным,если же f(x,y)0,то неоднородным лин. ДУ 2-го пор. в ЧП.Пусть в обл.Р задано это ур-ие.Если a²₁₂-a₁₁a₂₂>0–ур-е гиперболического типа;если a²₁₂-a₁₁a₂₂=0-параболического типа;если a²₁₂-a₁₁a₂₂<0-эллиптического типа.Рассм.з-чу о колебании струны,закреп-й на концах,при кот ф-ия u(x,t)даёт отклонение струны от оси Ох.Для нахожд-я ур-я колебания струны необход.задать доп-е усл-я,кот разбиваются на 2 типа:-начальные условия,кот.хар-ют искомую ф-ю u(x,t)в начальный момент времени (чаще всего t=0);-граничные или краевые усл-я,кот.хар-ют поведение искомой ф-ии на границе рассм-й обл.Если концы струны закреплены и длина струны=l(0 x l),то должны вып-ся граничные условия u(0,t)=0 и u(l,t)=0.Такие гранич.усл-ия наз.однородными.Уравнение колебания струны: ²u/ t²=c^{2 2}u/ x².Здесь u(t,x)-смещение струны из положения равновесия,а c-скорость распространения волны. u(0,x)=f(x), u_t(0,x)=g(x).Будем считать,что на концах струны функция u(x,t) обращается в 0:u(x,t)│_x=0=u(x,t)│_x=L=0.Представим реш-е в виде: u(x,t)=X(x)T(t); X_n(x)=sin(πnx/L), T(t)=A_ncos((απn/L)t)+B_nsin((απn/L)t).Следовательно,реш-е им.вид u(x,t)=[A_n *cos((απn/L)t)+B_nsin((απn/L)t)]sin(πnx/L);A_n=2/L*∫₀^Lf(x) sin(πnx/L)dx, B_n=2/nπα *∫₀^Lg(x)sin(πnx/L)dx.Одномер.ур-е теплопроводности:Рассм. след.з-чу:u_t=a²u_xx, 0<x<l,0<t≤T;u(x,0)=φ(x);0≤x≤l.u(0,t)=u(l,t)=0,0≤t≤T.Требуется найти ф-ию u(x,t)для (x,t):0≤x≤l,0≤t≤T.Представим искомую ф-ию в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t).Её реш-е сводится к реш-ю линейного дифф-го ур-я и рассмотрению 3-х случаев:1)λ<0,2)λ=0,3)λ>0.Общий вид реш-я: u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)=C_nsin((πn/l)x)exp(-a² (πn/l)²t),n=1,2,…,u(x,0)=∑_n=1^∞C_nsin((πn/l)x)=∑_n=1^∞A_nsin((πn/l)x);C_n=A_n=2/l*∫₀^lφ(ξ)sin((πn/l)ξ).З-ча Дирихле для ур-я Лапласа в круге:Найти ф-ию U,уд.ур-ию:∆U=0(1)внутри круга и граничному усл-ю U(R,φ)=μ(φ)(2)на границе круга,где μ(φ)-заданная ф-ия,φ-полярный угол.∆U= ²U/ x²+ ²U/ y²=0.Введем поляр.сис-му координат(ρ,φ)с началом в центре круга:x=ρ*cos(φ),y=ρ*sin(φ).Ур-ие(1)в поляр.координатах им.вид ∆U= ²U/ ρ²+(1/ρ) U/ ρ+(1/ρ²) ²U/ φ².Решим ур-ие методом разделения переменных,т.е.будем искать частное реш-е ур-ия(1),вида:U(ρ,φ)=P(ρ)Ф(φ)≠0.Реш-е ур-ия им.U(ρ,φ)=(1/2π)∫₀^2πμ(θ)dθ*(R²-ρ²)/( R²+ρ²-2Rρcos(φ-θ)).

26(22). ЛИУ Фредгольма и Вольтерра.Ур-ия с вырожд.и малым ядром.Альтернатива Фредгольма.Интеграл.ур-ем Фредгольма 2-го рода наз.ур-ие x(t)=∫_a^bK(t,s,x(s))ds+y(t)(1).Опр.Если [a,b] R,T={(t,s) R²│a≤s≤t, a≤t≤b},K:T R→R,y:[a,b]→R,то выделяют класс ур-ий вида x(t)=∫_a^tK(t,s)x(s)ds+y(t)(2)вкл.инт.с переменным верхним пределом,такие ур-ия наз.ур-ми Вольтерра.Опр.Ядро K(t,s)наз.вырожденным,если оно м.б.представлено в виде K(t,s)=∑_k=1ⁿa_k(t)b_k(s)(3). Опр.ИУ 2-го рода наз.вырожденным,если ядро K(t,s) представимо в виде(3).Опр.Если выполн.усл.│K(t;s;z₁)-K(t;s;z₂)│≤L│z₁-z₂│,где L>0 и L(b-a)<1,то ур-ие(1)наз.ИУ 2-го рода с малым ядром.Пусть D-область в Rⁿ.В пр-ве L₂(D)рассм.ИУ 2-го рода x(t)-∫_DK(t,s)x(s)ds=y(t)(4). x(t)-∫_DK(t,s)x(s)ds=0(5)-однородное, u(t)-∫_DK(s,t)u(s)ds=g(t)(6)-сопряженное,u(t)-∫_DK(s,t)u(s)ds=0(7)-сопряжен.однородное.Т.(альтернатива Фредгольма).Пусть ядро K(t,s)измеримо,как ф-ция 2-х переменных,и уд.усл.(3),тогда для ур-ий(4)-(7)в пр-ве L₂(D)возможны только 2 случая:1.однород.ур-ия(5)и(7)им. только нулевые реш-я;ур-ия(4)и(6)разрешимы для любой правой части.2.ур-ие(5)им. конечное число n линейно независ.реш-й x₁,x₂,…,x_n;ур-ие(7)им.также n линейно независ.реш-ий u₁,u₂,…,u_n;ур-ие(4)разрешимо для данной ф-ии y L₂(D)<=>когда выполнено n усл-ий разрешимости:∫_Dy(t)u_k(t)dt=0,k=1,…,n(8).При выполнении(8)общее реш-е(4)им.вид x=x₀+∑_k=1ⁿc_kx_k,где x₀–частное реш-е(4),c_k-произвольные постоянные.

27(16). Гильбертово пр-во.Разлож-е эл-ов гильбертова пр-ва по ортонормир.сис-ам. Общий вид лин-го непрерыв. функционала в гильбертовом пр-ве. Опр.Пусть X-векторное пр-во над полем K(R,C).Ф-ия<*,*>:X X→K наз.скаляр.произведением на Х,если:1.хХ <x,x> ≥0, <x,x>=0 <=> x=0;2.х,yХ <x,y>=<y,x>3.х,yХ,λR <λx,y>=λ<x,y>(однород.по 1-му арг-ту)4.х,y,zХ <x+y,z>=<x,z>+<y,z>(аддитив.по 1-му арг-ту).Пр. Х=Rⁿ:<x,y>=x₁*y₁+…+x_n*y_n.Утв1.Если<*,*>-скаляр.произв-е,то норма на Х(1.φ(λх)=|λ|φ(х),2.φ(х+y)≤φ(х)+φ(y))Опр.Сис-ма вект-ов наз.ортонормир-ой,если <l_k;l_m>=δ_km={1,k=m;0,k≠m.Сис-ма век-ов наз.ортонормир,если таковой явл. конечная подсис-ма для таковой сис-мы.Полное лин.нормированное пр-во наз.банаховым.Опр.Банахово пр-во Х с нормой||*||наз. гильбертовым пр-вом,если в нем дляf,gХ опр.скаляр.произвед.(f,g),уд.усл-ям: (f,g)=(g,f),(αf₁+βf₂,g)=α(f₁,g)+β(f₂,g)(аддитивность).Опр.Эл-ты x,y из гильбертова пр-ва Х наз.ортогональными,если<x,y>=0.Т.Пусть X–гильберт.пр-во(X,<,>), -ортонормир.сис-ма вект-ов в X,тогда:1.справедл.нер-во Бесселя:∑_k=1^∞│c_k│²≤║x║², 2.ряды Фурье сх-ся к т-ке x X _выполн.рав-во Парсеваля–Стеклова: ∑_k=1^∞│c_k│²=║x║²,где c_k-коэф.Фурье,ряд ∑_k=1^∞c_kl_k Фурье.Опр.Сис-ма вект-ов l_k наз.макс-ой в гильберт пр-ве X,если из усл.,что k N, <x,l_k>=0 x=0.Опр. Сис-ма век-ов l_k наз.полной в гильберт пр-ве X,если мн-во всех конечных лин-ых комбинаций век-ов этой сис-мы всюду плотно в гильберт пр-ве.Т.Пусть X гильберт.пр-во, -ортонормир.сис-ма,тогда эквивалентны утверждения:1)данная сис-ма явл.базисом в X; 2)сис-ма максимальна;3)справедлив.рав-во Парсеваля-Стеклова;4)сис-ма явл.полной. Т.(Рисса)Пусть Х-гильбертово пр-во,f:X→R–линейный ограниченный ф-ал,тогда эл-т y из Х,что x X справедливо:(f,x)=<x,y>.

28(1). Приводим.и неприводим.мн-ны над полем хар-ки 0.Непривод-ть мн-нов над поле C,Q,R.Кольцо-непустое мн-во К эл-тов произвол.природы с опр.на нем бинарн.операц.+и*,если выполн.усл.:алгебра<К,+>-абелева группа,умнож.ассоциативн a,b,cK а(bc)=(ab)c,умнож дистрибутив.относ+,т.е.а(b+c)=ab+ac.А К[x](кольцо многочл.)-расшир К и содерж.перем. х,т.е.КК[x].Хар-ка кольца–наименьшее nN. Если не такого n, то хар-ка кольца=0.Мн-н f(x) из кольца P[x] наз приводимым над полем Р, если его можно представить в виде произведения 2-х мн-нов из кольца Р[х],каждый из кот.степени не ниже 1-й.Если такое представление не возможно,то f не приводим над Р.Св-ва неприводимых мн-в:1)Если f/P,где f,PP[x] неприводимые,то f и P совпадают с точностью до постоянного множителя;2)Пусть f– любой мн-енР[x], Р–неприводимый, тогда f/P или (f,P)=1(взаимно простые).3)Если произведение мн-ов из кольца Р[x] делится на неприводимый мн-н,то хотябы 1 из сомножителей делится на Р.4)Если произведение неприводимых мн-ов из кольца Р[x] делится на неприводимый мн-ен Р,то хотябы 1 из сомножителей совпадает с Р с точностью до постоянного мн-ля.Т.(о неприводимых мн-ах).Всякий мн-ен f(x) степени не ниже 1-ой из кольца Р[x] м.б.разложен в произведение неприводим.мн-ов из этого кольца,и это разлож-е ед-но с точностью до порядка следования сомножителей и до постоянного множителя.Д-во. М-д мат.индукции(n-степень многочлена).1.n=1. Мн-н 1-й степени неприводим над полем, значит f можно разложить в произведение неприводим.мн-ов,но в этом произведении только 1 множитель,т.е. f=f.2.Предположим теорема верна для всех мн-ов, степень кот.n.Док-м для n+1.А)f степени n+1 не приводим над Рон разложим в произведение неприводимых мн-ов, но в этом произведении только 1 множитель.Б)f степени n+1 приводим над Рf=f₁*f₂, f_1,f₂P[x],где deg(f₁)n и deg(f₂)n.Т.к.степени мн-ов f_1,f₂n,то по индуктивному предположению для мн-ов f_1,f₂ верна теорема,т.е. f_1,f₂ м.б.представлены в виде произведения непривод-ых мн-ов.Док-м един-ть такого разлож-я.Предполож. противное:кроме разложения f=p₁p₂…p_s существует f=q₁q₂…q_s+m.;p₁p₂…p_s=q₁q₂…q_s+m правая часть делится на р₁.По св-ву 4 хотя бы 1 из этих мн-ов совпадает с р₁ с точностью до постоянного множителя,наприм., q₁, т.е. q₁=с₁р₁, с₁Р. p₂…p_s=с₁q₂…q_s+m Аналогично q₂=с₂р₂, с₂Р. И т.д. После s сокращений получим:е=с₁с₂…с_sq_s+1…q_s+m.Т.к степень левой части = 0, то в правой части м.б.только с₁ с₂… с_s. Т.е.в данных разлож-х одинак-е кол-во мн-ов и они могут различаться только порядком следования и постоянными множ-ми. ч.т.д. Разлож-е f(x)=а* , где все различные множ-ли Р(х), аP, a≠0 наз. каноническим разлож f(x)P(х) над полем Р. Всякий мн-н f(x) степени n1 над полем комплексных чисел им. хотя бы 1 комплексный корень.Неприводим. над полем комплексных(С)чисел являются только мн-ны 1-ой степени.Неприводим.над полем действит-ых(R) чисел явл-ся только мн-ны 1-ой и 2-ой степени,кот. не им. действит. корней.Всякий мн-ен f(x), n1 над полем R раскладывается в произведение мн-ля a_n, явл-ся старшим коэф-ом f, и неприводимых мн-ов со старшим коэф-ом 1, причем лин-й мн-н им.1 дейсв. корень, а квадратичный–2 комплексно-сопряженных. И это разлож-е един-но с точностью до порядка следования. Мн-н с рациональными коэф-ми 2-й или 3-й степени разложим над полем Q на непривод.мн-ли,когда он им. хотя бы 1 рац.корень.Кр.Эйзенштейна:Если для мн-на f(x)= с целыми коэф-ми можно подобрать такое простое число р, что: 1)а_n не÷на р; 2)(а₀,а₁…а_n-1)÷на p;3)а₀ не ÷ на ,то f(x) не приводим над полем Q.Поле–комутативн. кольцо с 1-цей е≠0 в кот кажд.ненулевой эл-т обратим.(Z не поле)

29(2). Лин-е пр-во.ЛЗ и ЛНЗ сис-мы век-ов...К эл-ов любой природы, с заданными на нем операциями + и  наз кольцом относительно сложения и умножения,если:1)К –абелева группа по сложению;2)на К умнож-е ассоциативно;3)На К вып-ся дистрибутивный з-н умнож-я относительно слож-я [(a+b)c=ac+bc]. Коммутативное кольцо Р с ед-цей е0,наз полем, если в нем каждый ненулевой эл-т им.обратный. Пусть Р– поле.Его эл-ты бу.наз-ть скалярами.V наз.линейным(векторным) пр-ом над полем Р,если выполн-ся следующие усл-я:1)на V опр-на операция сложения: a,bV (a+b)V;2)V–абелева группа по слож-ю(слож-е ассоциативно, коммутативно, хотя бы 1 правый нейтральный и симметричный эл-т относительно слож-я); 3)опр-но умнож-е эл-ов из V на скаляр из поля Р:Р,aV:aV; 4),Р,aV:()a=(a);5),Р,aV:(+)a=a+a;6)Р,a,bV: (a+b)=a+b;7)aV:1*a=a.Пр.вектор-го пр-ва:Рⁿ={(₁,₂,…_n)|_iP},Rⁿ,Cⁿ. b=₁a₁+₂a₂+…+_na_n наз лин-ой комбинацией вект-в α₁,α₂,…α_n, _iP–коэф-ты лин-ой комбинации.Сис-ма вект-в(a₁,a₂,…a_n)V наз.линейно зависимой(ЛЗ),если скаляры ₁,₂,…_nP не все из кот.=0,такие что ₁a₁+₂a₂+…+_na_n=0.Если рав-во выполняется только тогда,когда все _I=0,то сис-ма линейно независима(ЛНЗ).Т.(о ЛЗ).Сис-ма век-ов (a₁,a₂,…a_m)V, m>1 ЛЗ,когда хотя бы 1 век-р из этой сис-мы явл-ся лин-ой комбинацией остальных век-ов.Док-во.1)Пусть сис-ма ЛЗ скаляры ₁,₂,…_nP не все из кот.=0,такие что ₁a₁+₂a₂+…+_na_n=0.Пусть ₁0,тогда а₁=(-₂/₁)a₂+…+(-_n/₁) a_n.В др.обозначениях: а₁=₂a₂+…+_na_n,где коэф-ты при а_iР,т.о.получили линейную комбинацию век-ов.2)Пусть а₁ явл-ся лин-ой комбинацией остальных век-ов, Тогда 1а₁+(-₂)a₂+…+(-_n)a_n, где коэф-т при а₁ отличен от 0сис-ма ЛЗ.ч.т.д. Сл.1.Всякая сис-ма,содержащая нуль-вектор ЛЗ.Сл.2.Если подсис-ма сис-мы ЛЗ,то и вся сис-ма ЛЗ.Сл.3.Если сис-ма ЛНЗ,то любая ее подсис-ма ЛНЗ. Пусть дано лин-е вектор-е пр-во L над полем Р.(Нулев. пр-во не им.базиса).Базисом лин-го вектор-го пр-ва L над полем Р наз любая ЛНЗ сис-ма вект-в,такая что ч/з нее линейно выражается любой вектор пр-ва.Кр.базиса. ЛНС сис-ма вект-ов из пр-ва L над полем Р явл-ся базисом ,когда она явл-ся максимально ЛНЗ(сист становится ЛЗ при прибавлении к ней любого вектора из L). Размерностью пр-ва L над полем Р наз.число векторов его базиса. Существуют конечномерное и бесконечномерное пространства. Не пустое мн-во М лин-го пр-ва L над полем Р наз.подпр-вом пр-ва L,если оно само образует пр-во относительно сложения и умножения вектора на скаляр.Кр.подпр-ва.Не пустое мн-во М лин-го пр-ва L над полем Р образует подпро-во ,когда 1)a,bV^(a+b)М; 2)Р,aМ: aV. Мн-во лин-ых комбинаций векторов a₁,a₂,…a_nL над полем Р наз линейной оболочкой, натянутой на векторы a₁,a₂,…a_n. Размерностью линейной оболочки явл-ся ранг сис-мы векторов a₁,a₂,…a_n.

30(6). Скаляр-е,вектор-е и смешан-е произвед-е вект-ов 3-хмерного евклидова пр-ва. Прилож-я к реш-ю з-ч.Век-р–направл-ый отрезок. 2 век-ра коллинеарны если прямая,кот.они оба параллельны. 3 век-ра компланарны,если пл-сть,кот.все 3 параллельны.Непустое мн-во V наз.векторным(лин)пр-вом над полем Р,если вып-ся след усл-я:1)на V опр-на операция слож-я: a,bV:(a+b)V;2) V–абелева группа по слож-ю(слож-е ассоциатив.,коммутатив., хотя бы 1 правый нейтральный и симметричный эл-т относительно слож-я);3)определено умнож-е эл-ов из V на скаляр из поля Р:Р,aV:aV;4),Р,aV:()a=(a);5),Р,aV:(+)a=a+a; 6)Р, a,bV:(a+b)=a+b;7)aV:1*a=a. Пусть L-лин пр-во над полем R.Отобр-ие L²→R наз.скаляр.умнож-ем в-ров,а образ пары в-ров L наз.скаляр.произвед-ем и обознач. , если вып-ся след усл-я:1.a,bL:ab=ba (коммутативно); 2.a,b,cL:(a+b)c=ac+bc(дистрибутивно);3.a,bL,αL:(αa)b=α(ab) (ассоциативно); 4.αL,α≠0:α²>0. Св-ва век-го умнож-я:1.век-ое произвед-е век-ов=0 в-ры коллинеарны.2.При изменении порядка сомножителей вект-ое произвед-е изменяет знак на противоположный(св-во антикоммутативно a*b=-b*a);3.Век-ое умнож-е ассоциативно относительно числового множителя (αa)b=α(ab);4.Век-ое умнож-е дистрибутивно относительно слож-я век-ов (a+b)c=ac+bc. 2-а ненулевых в-ра и перпендик-ны,если =π/2. Скаляр.произвед-ем 2-х в-ров наз число,равное произвед-ю длин в-ров на cos угла м/д ними ,где Вект-ое пр-во L над полем R,в к-ом задано скаляр.произвед-е наз.евклидовым пр-вом(Е). 2-а в-ра и наз.ортогональными,если ,т.е.(ab). С-ма в-ров (a₁,a₂,…a_n)Е наз.ортогональной,если ее в-ры попарно ортогональны. 2-а в-ра и наз.ортонормированными,если они ортогональны и нормированы( ).С-ма в-ров (a₁,a₂,…a_n)Е наз.ортонормированной,если она ортогональна и ее в-ры нормированы.Базис (a₁,a₂,…a_n)Е наз.ортогональным,если сис-ма a₁,a₂,…a_n ортогональна(ортонормирован.,если с-ма ортонормированна).Т. Скаляр.прозвед-е в-ров и зад.своими корд-тами в ортонормированном базисе взаимно перпендикулярны a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=0.Т.Скаляр.произвед-е 2-х в-ров и из пр-ва Е разложенных по базису=сумме произведений одноименных корд-т базис ортонормированный.Выраж-е векторного произвед-я ч/з координаты век-ов: .Площадь треугольника по известным координатам его вершин A(x₁,y₁), B(x₂,y₂),C(x₃,y₃) вычисляется по формуле .Смешанным произвед-ем 3-х век-ов наз.число,равное .Обознач-ся . Св-ва смешан-го произвед-я:1.(геометр-ий смысл смешан.произвед-я)Смешанное произвед-е 3-х век-ов с точностью до знака=объёму параллелепипеда,построен.на этих век-ах,как на рёбрах,т.е. ,т.о. и 2.Длявек-ов справедливо рав-во ;3.При перестановке2-х сомножителей смешан-е произвед-е меняет знак.4.Смешан.произвед-е , когда 1-н из сомножителей=0 или век-ры компланарны.5.Необход.и достаточ.усл-ем компланарности век-ов явл-ся рав-во нулю их смешан.произвед-я( ).В координатной форме условие компланарности имеет вид: .

31(3). Плоскость и прямая в прастранстве. 1.Ур-ние пл-ти,заданное т-кой M₀(x₀,y₀,z₀) и направл-щим подпр-вом L с базисом образованным в-ми , : 2.Ур-ние пл-ти, задан. 3-я т-ми M₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃): 3.Ур-ние пл-ти, заданной т-кой M₀(x₀,y₀,z₀), и перпендикул.в-ром :A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0.Если выбрана с-ма координат,то ур-ние Ах+Ву+Сz+D=0(при (A,B,C,) (0,0,0))-общее ур-ние пл-ти. Уравнения прямой в пространстве:1.Канонич.ур-ие прямой,зад.2-мя т-ками: 2.Каноническое ур-ние прямой, ,зад-ое т-кой M₀(x₀,y₀,z₀)и направляющим век-ом .3.Параметрическое ур-ние прямой Взаимное расположение двух плоскостей: Пусть плоскости заданы своими общими ур-ями: (1) Вопрос о взаимном расположении этих пл-стей сводится к реш-ю 2-х лин Ур-ий с 3-мя неизв.Если коэф-ты при перем-х непропорциональны, то пл-сти пересекаются по прямой. Если коэф-ты пропорциональны, а свободные члены нет, то данные пл-сти параллельны. Если , то пл-сти совпадают. Взаимное расположение прямой и плоскости. Пусть в пр-ве прямая d задана точкой и направляющим и в-ром , пл-сть . Тогда1. , т.е. имеют общую точку; не параллельна . Для отыскания корд-т точек пересечения прямой и пл-сти решается система, сост из ур-ий прямой и пл-сти. 2. 3.d лежит в пл-сти Располож-е 2-х прямых в пр-ве. Пусть , :_{1.Прямые и явл. скрещивающимися,если они не лежат в одной пл-ти. 2.Прямые и ,лежащие в одной пл-ти,пересекаются ,когда их направлящие векторы неколлинеарны.3. Прямые и лежащие в одной пл-ти, будут параллельны, если они не имеют общих точек.4. Прямые и совпадают, если векторы , , попарно коллинеарны.}

32(12). Определение ф-ии от мтрицы. Св-ва ф-ий от матриц. Интерполяционый многочлен. Спектральное разложение f(A). Пусть АM_n(C)(мн-во квадр. м-ц над полем компл. чисел) и ф-ция f(x) – ф-ция скал. аргумента х. Требуется определить, что следует понимать под f(A). Реш-е этой з-чи изв., когда f(x)=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀. В этом сл. f(A)=a_nAⁿ+…+a₁A+a₀E. Определим f(A) в общем случае. Обозн. m_A(x)=(x-₁)^m1(x-₂)^m2…(x-_S)^ms (1) - min мн-н м-цы А (₁,… _S – разл. собств. знач-ия А). Степень этого мн-на _. Пусть 2 мн-на g(x) и h(x) таковы, что g(A)=h(A) (2). Обознач. разность d(x)=g(x)-h(x), тогда d(A)= 0 – аннулирующий мн-н для м-цы А и он делится на m_A(x), тогда справ. d(x)=m_A(x)q(x). Вообщем, мн-н f(x) наз. аннулирующим мн-ном для м-цы А, если f(A)=0.

SpA={ }. Тогда в силу (1) d(_k)=0, d’(_k)=0, …d^(mk-1)(_k)=0, (k=1,s), т.е. g(_k) = h(_k), g’(_k)=h’(_k)…g^(mk-1)(_k)=h^(mk-1)(_k), k=1,s. Т.о. получили: если мн-ны g(x) и h(x) принимают одинаковые знач-я при x=A, то они принимают одинак.знач-я на SpA.

Пусть f(x) –нек-ая ф-я. Условимся m чисел вида f(_k),f⁽¹⁾(_k)…f^(mk-1)(_k) (3) наз. знач-ми ф-ии f(x) на SpA, т.е. f(SpA)={ f(_k),… f^(mk-1)(_k) }(спектр м-цы – мн-во её собств. знач-й). Говорят, что ф-ция f(x) определена на SpA, если определены все знач-я f^(mk-1)(_k), . Знач-е ф-ии f(A) опред. как знач-е нек-го мн-на g(x) при x=A, кот. приним.те же знач-я на SpA что и x. Мн-н g(x) из определения ф-ии от матриц наз. интерполяционным мн-ном Логранжа-Сильвестра.

Среди мн-нов над С, приним. те же знач-я на SpA, что и f(x) им. единств. мн-н r(x) степени <m. Это остаток от деления мн-на, им. те же знач. на SpA, что и f(x), на m(x), т.е. g(x)=p(x)m(x)+r(x). Мн-н r(x) будет интерполяционным мн-ном Л-С для ф-ции f(x) на SpА. Строится он так: пусть вып.(1) и (2), изв. . Составим дробн.-рац. ф-ю: и разложим её на простейшие дроби: (4). Умнож. (4) на знаменатель последней дроби, т.е. на и получ. (5). Тогда . Чтобы найти след. коэф-ты, надо найти производную от (5) и т.д. В итоге получ. r(x) и подставл. x=A, т.е. f(A)=r(A). Св-ва ф-ий от м-ц(теоремы): 1) м-ца A M_nC, f(x) C[x], ₁,₂…_n – собств. знач-ия (с учетом кратностей) м-цы А, тогда f(₁),…f(_n) – собств. знач-ия м-цы f(A) 2) м-ца A M_nC и f(x)-произвольная ф-я, опред. на SpA, то если ₁,₂…_n – собств. знач-ия м-цы A, то f(₁),…f(_n) – собств. знач-ия м-цы f(A). Док-во: т.к. f(x) опред. на SpA, то интерп. мн-н r(x) такой, что r(A)=f(A) (*) и r(x) приним. те же знач-я на SpA, что и f(x), т.е. f(_i)=r(_i)(**). По св-ву 1) след. что если ₁,₂…_n – собств. знач-ия м-цы A, то r(₁),…r(_n)- собств. знач-ия м-цы r(A), а из (*) и (**) след. f(₁),…f(_n) – собств. знач-ия м-цы f(A). 3) Если 2 м-цы A и B подобны, f(x) опред. на SpA или SpB, то собств. знач-я м-ц f(A) и f(B) совпадают и справ. f(B)=T^-1f(A)T, T- невырожденная 4) Если A-блочно-диаг. м-ца, т.е. А=diag(A₁,A₂,…A_S) и f(x) опред. на SpA, то f(A)=diag(f(A₁₎,f(A₂₎,…f(A_S)). Т-ма о спектральном разложении: Пусть м-ца A M_nC и для неё справ. (1), f(x)- произв. ф-я на SpA, f_k^(j) – значение j-ой производной при x= _k (f_k^(j)₌f^(j)(_k)), тогда сущ. незав от f м-цы z_kj, что справ. разложение , где –лин. незав. и перестановочны с м-цей A и они наз. компонентными м-цами. Св-ва комп. м-ц: 1) 2) 3) 4)

33(21). Интуитивное понятие алг-ма.Машина Тьюринга.Тезис Черча.Интуитивное понятие алг-ма. Прежде чем дать строгое матем-кое опр-е понятия алг-м рассм-им осн. его св-ва:1)Массовость–алг-м пригоден для реш-я не 1-ой з-чи,а целого класса однотипных з-ч.2)Дискретность–алг-м раб-ет в дискретном времени так,что в исходный момент времени задается начальный набор величин,а в каждый последующий–набор величин получ.из набора им-гося в предыдущий момент времени.3)Детерминированность–действия,выполн-ся на каждом этапе опр-ся однозначно и однозначно опр-ся переход к следующему этапу.4)Элементарность шагов алг-ма-действия,выполн-ся на каждом этапе д.б.достаточно простыми.5)Направленность шагов алг-ма-если в рез-те выполнения какого-то этапа мы получим рез-т,то д.б.указано,что следует принимать за рез-т.Эти св-ва в какой-то степени опр-ют понятие алг-м.Такое понятие наз.интуитивным.Рассмотрим строгое матем-ое опр-ие понятия алг-м.Тьюринг исходили из того,что алг-ский процесс-процесс,кот.может выполнять устроенная подходящим образом“машина”.Он описал такие машины и в последствии эти машины были названы машинами Тьюринга.МТ состоит из ленты и головки.Лента ∞ в обе стороны,разделена на ячейки равной длины. В каждой ячейке записан ровно 1 символ из мн-ва {а₀,а₁,...,а_n}наз.внешним алфавитом МТ.В каждый момент времени головка находиться у вполне опр-ой ячейки.В каждый момент времени головка нах-ся в одном из состояний мн-ва {q₁,q₂,…,q_n}наз-го внутренним алфавитом МТ.В зависимости от того,в каком состоянии нах-ся головка и какую ячейку она обозревает головка выполняет следующие действия:1)стирает записанный в обозреваемой ячейке символ и записывает туда новый.2)сдвигает влево (Л),вправо(П) к соседней ячейке или остается на месте(С).3)переходит в новое внутр. состояние или остается в том же.Выполнение этих действий наз.выполнением команды, а сама команда записывается в виде:q_ia_i→a_jD_jq_j,где q_i–состояние головки в данный момент,a_i–символ в обозреваемой ячейке,a_j-символ запис-ый в обозреваемую ячейку,D_j {Л,П,С},q_j-состояние,в кот.переходит головка.Совокупность всех команд наз.программой МТ.Состояния q₁и q₀ наз.соответственно начальным и конечным. Конфигурацией МТ наз.совокупность след.3-х усл-ий:1)слово на ленте(последовательность символов в ячейках ленты);2)указание обозреваемого символа;3)состояние головки.В зависимости от пр-мы МТ и нач-ой конфигурации м.б.2 случая:1.после конечного числа раз выполнения команд машина приходит в состояние q₀,после чего она останавливается в том случае рез-ом работы машины счит-ся конечная конфиг-ия;2.головка машины никогда не приводит в состояние q₀.В этом случае машина раб-ет ∞ и говорят,что машина не применима к начальной конфиг-ии.Ф-ия наз.числовой,если она сама и её арг-ты принимают знач-я из мн-ва {0,1,2,3…}.Числовая ф-ия f(x₁,x₂,…,x_n)наз.вычислимой по Тьюрингу или просто вычислимой ф-ей,если им-ся такая МТ,что выполняется 2 усл-я:1)если f(m₁,m₂,..,m_n)=m,то машина слово на ленте 1^m1+1 0 1^m2+1 0 … 1^mn+1преобразует в слово 1^m+1;2)если знач-е f(m₁,m₂,..,m_n) не опр-но,то машина не применима к слову 1^m1+1 0 1^m2+1 0 … 1^mn+1.Тезис Чёрча: Всякий алг-м м.б.задан пр-мой МТ.Уверенность в справедливости ТЧ базируется на опыте.Опыт подсказывает,что не было ещё ни одной успешной попытки создания такого алг-ма,кот.невозможно было бы задать пр-мой МТ.Еще одним важным доводом явл-ся также эквивалентность различных строгих опр-ий понятия алг-м.А это говорит о том,что все эти различные строгие опр-я верно отражают природу алгоритма.

34(22). Исчисление высказываний.В логике при исследовании высказываний для выяснения того является ли данная ф-ла выполнимой(если на мн-ве М им.хотябы 1-н набор знач-й перемен-х из М, на кот.ф-ла приним.знач-е истина)или равносильны ли две данные ф-лы(если на любом наборе знач-й перемен.из М эти ф-лы приним.одинак.истинное знач-е)достаточно было построить таблицу истинности.Это было возможно,т.к.каждая перемен-я явл.лишь двоичной.В др.разделах такой метод не подходит т.к.переменные могут принимать сколь угодно много различ.знач-й.В таких случаях примен-ся так называемый аксиоматический метод.Рассмотрим применение этого метода в наиболее простом случае при исследовании высказываний.Аксиоматическую теорию,кот.в рез-те этого построим,наз-ем исчислением высказываний(ИВ).Каждой аксиоматической теории свойственны 3 след-ие черты:1)Язык включ.в себя алфавит и способы образования ф-ул.Опр.Алфавитом ИВ наз.мн-во,состоящее из 3-х групп символов:-большие печатные буквы латинского алфавита с индексами или без них (А,В₁,С₃…);-спец.символы“→”,“—”;-скобки (, ).Способы образования ф-ул–это те правила,по кот.из символов данного алфавита строят ф-лы. В ИВ явл-ся таким след-ие правила:1)каждый символ 1-ой группы алфавита является ф-лой;2)если А–ф-ла,то –тоже ф-ла;3)если А и В –ф-лы,то(А→В)ф-ла;4)др.ф-ул нет.В опр-ии ф-лы использовали символы А и В алфавиту.Такие символы называются метасимволами.2)Аксиомы:во мн-ве ф-ул каждой аксиоматической теории выделяют некоторое подмн-во,ф-лы кот.и объявляют аксиомами. В ИВ все аксиомы задаются с помощью след-их 3-х схем: 1.А→(B→A); 2.(A→(B→C))→((A→B)→(A→C));3.(B¯ →A¯ )→((B¯ →A)→B).Эти 3 схемы порождают ∞ мн-во аксиом,кот.получаются при подстановке конкретных ф-ул на место метасимволов.3)Правила вывода:они позволяю из им-ся ф-ул получать новые.При этом те ф-лы,к кот.применяются правила вывода наз.посылками,а та ф-ла, кот. получается заключением.В ИВ им-ся всего одно правило вывода: modus ponens(MP). Это правило будучи примененным к ф-ле вида A и A→B дает ф-лу B.

Выводом наз.конечная послед-сть ф-ул,в кот.каждая ф-ла получена по одной из схем аксиом или по правилу вывода из предшествующих ф-ул.Ф-ла наз.выводимой,если им.вывод,в кот.эта ф-ла нах-ся на последнем месте.Если ф-ла В выводима,то пишут├В.Пусть дано некоторое мн-во ф-ул Г,формулы этого мн-ва наз-ём исходными или гипотезами.Тогда выводом ф-лы В из гипотез Г наз.конечная посл-ть ф-л,в кот.на последнем месте нах-ся ф-ла В и в кот.каждая ф-ла получена либо по схеме аксиом, либо по правилу МР из предшествуюших,либо явл.гипотезой.Пишут Г├ В. Т.дедукции.Если из Г,А├В,то из Г├А→В.Аксиоматическая теория наз. непротиворечивой,если в ней из каждой пары ф-ул вида В и B¯ невыводимой явл хотя бы одна.ИВ наз.полным в широком смысле,если в нем выводимы все ф-лы,кот.в логике высказываний явл.тавтологиями(тавтология–при любом наборе истинностных знач-ий,вход-х в нее букв приним.знач.1,по-другому закон логики).ИВ назыв полным в узком смысле,если присоединив к его схемам аксиом любую невыводимую ф-лу мы получим противоречивую теорию.ИВ наз.абсолютно полным,если в нем из каждой пары ф-ул вида В и B¯ выводимой явл. хотя бы одна.Схема аксиом наз.независимой, если не одну из схем аксиом нельзя вывести из остальных.

35(8). Метод обратной функции моделирования непрерывной случайной величины. Моделирование на ЭВМ случайного элемента подчиняется двум основным принципам: 1) сходство между случайным элементом-оригиналом S* и его моделью S состоит в совпадении (близости) вероятностных законов распределения или числовых характеристик; 2) всякий случайный элемент S определяется как некоторая функция от простейших случайных элементов, так называемых базовых случайных величин

(БСВ). В качестве БСВ выбирается непрерывная случайная величина(СВ) α равномерно распределенная на полуинтервале [0, 1).

Функция распределения БСВ: (1),а плотность распределения определяется формулой: .Если возникает необходимость моделирования непрерывной СВ ξ* с за-

данной плотностью распределения f (x), то в некоторых случаях для решения данных задач удается применить метод обратной функции. Функция распределения СВ ξ* определяется как: (2),кот.будем полагать строго монотонно возрастающей. Через x = F (y) обозначим обратную функцию; она находится при решении уравнения F(x) = y . (3) Теорема. Если α — БСВ, то СВ ξ=F (α) (4) им.заданную плотность распределения f (x).Док-во. Поскольку при строго монотонном преобразовании F(x) знак неравенства сохраняется, то из (3) и (2) получаем: Fξ(x) =[По определению ф-ии распределения]=P(ξ<x)=[ По формуле (4)]=P(F (α)<x)=[По свойству монотонности ф-ии распределения]= =P(α<F(x))=[ По определ.ф-ии распределения]=F (F(x))=[ По формуле (1)]=F(x) т.е. F (x) =F( x),а с учетом (2) получаем что f (x)=f( x),.

Моделирующий алгоритм включает следующие этапы: 1) нахождение ф-ии распределения F(x) по заданной плотности распределения f (x) согласно (2); 2) нахождение обратной ф-ии F (y) путем решения уравнения (3); 3) моделирование реализации БСВ α и вычисление реализации ξ по формуле (3).

Коэффициент использования БСВ κ = 1. Недостатком метода явл.аналитические трудности на первых двух этапах.В чистом виде метод обратной ф-ии применяется редко т.к.для многих распределений даже F(x) (не говоря уже о F (y)) не выражается ч/з элементарные ф-ии,а табулирование F (y) существенно усложняет моделирование.На практике этот метод дополняют аппроксимацией F(x) или сочетанием с другими методами.

36(11). Минимальные покрывающие деревья. Графом G=(V,E) наз. совокуп-ть непустых множ-в V и E, сост. из пар эл-ов множ-ва V. Если эл-ты мн-ва E явл. неупорядоченными, то они наз. рёбрами и граф-неориентир-ый, если упорядочены, то –дуги и граф ориентир-ый. Неориентир. граф наз. связным, если его 2 вершины можно соед. путём. Путь-послед-ть рёбер, в кот. 2 сосед. ребра смежны(-им. общую концевую точку). Дерево – граф без циклов(-путь, в кот. 2 сосед. ребра смежны). Пусть дан связный неориентир. граф G=(V,E) и пусть каждому ребру припис. число >= 0 –вес ребра. Покрывающим(остовным) деревом связного неориентир. графа G=(V,E) наз. такой его подграф, кот.сод. все вершины исходного графа и явл. деревом. Min покрыв. деревом(МПД) связного неориентир. графа G=(V,E) наз.такое покрыв. дерево, кот. им. наименьшую сумму весов рёбер среди всех покрывающих деревьев. Рассм. 2 алгоритма построения МПД. Их общая схема: Выделяем нек-ое подмнож-во А, кот. будет частью МПД, затем к нему добавл. ребро МПД и оно наз. безопасным. Алгоритм Крускала. Идея: им. |V| мн-в, каждое из кот. сост. из 1 вершины. Каждая такая вершина образует дерево. Затем на каждом шаге доб. 1 ребро, с пом. кот. происходит объединение 2 деревьев в 1. Здесь исп. след. процедуры: 1) find_set (u)- возвращ. представит мн-ва, содержащего эл-т u, при этом 2 вершины u,v одному мн-ву, если вып. find_set (u)= find_set (v); 2) union (u,v)- объед. 2 мн-ва, представит-ми кот. явл. u,v; 3) make_set (u)- созд.мн-во, ед. эл-ом кот. и представителем явл. u;

Mst_Kruskal(G,l):

1) А= 2) for каждой v V do make_set(v)

3) for (u,v) E (в порядке возраст. веса) do if find_set(u) find_set(v) then A:=A {(u,v)} union(u,v) 4) return A

т.е. на каждом шаге берём ребро min веса. Если найденное ребро связывает 2 вершины из разных связных компонент графа А, то его добавляют в граф А, иначе это ребро отбрасывают т.к. его добавление в граф приведет к образованию цикла, и объед. мн-ва. O(|E|*log₂|E|)- время работы алгоритма.

П р.

итер1 (1,3) вес 1; связанные компоненты {1,3}

итер2 (4,6) вес 2; связанные компоненты {1,3};{4,6}

итер3 (2,5) вес 3; связанные компоненты {1,3};{4,6};{2,5}

итер4 (3,6) вес 4; связанные компоненты {1,3,4,6};{2,5}

итер5 (3,4) нет т.к образуется цикл

(1,4) нет т.к образуется цикл

(2,3) вес 5; связанные компоненты {1,3,4,6,2,5}

Алгоритм Прима. Идея: в нач. выб. вершина графа. r- корень дерева. Затем на кажд. этапе выб. ребро наименьшего веса, соед. вершины уже построенного дерева с вершиной не из дерева. В ходе работы алг-ма все вершины, ещё не попавшие в дерево, хранятся в очереди с приоритетами Q(мн-во, эл-ты кот. явл. числа). Приоритет вершины v в этой очереди опред. знач-ем key[v] и оно = весу наименьшего ребра, соед. вершину v c вершиной из дерева. Если такого ребра нет, то key[v]= . П[v] указ. на родителя вершины v в дереве. l(u,v)- вес ребра (u,v).

Mst_Prim(G,l,r):

1. Q:=V 2) for каждой вершины u Q do key[u]:= 3) key[r]:=0

4) П[r]:=null 5) while Q do u:=extract_min(Q) 6)for каждой v do

if v Q and l(u,v) < key[v] then П[v]:=u; key[v]:=l(u,v) Здесь extract-min() –изъятие min эл-та из мн-ва. Время работы зав. от способа реализации очереди Q. (если Q двоичная куча, то время работы O(|E|*log₂|V|)

37(18). Оптимальные коды. Кодирование всегда играло существенную роль в матем-ке. Позволяет решать след.зад-чи: 1)представл. данных произвольной природы в памяти компа(чисел, текста, графики и т.д) 2)обеспеч. помехоустойчивости при передаче данных по каналам связи 3)защита инф-ции от несанкционированного доступа 4)сжатие инф-ции в базах данных. Пусть дан алфавит A={a₁, a₂,…a_n}, тогда конечные посл-ти A=a_i1a_i2…a_{i n} букв алфавита А наз. словом в алфавите А, при этом n- длина слова. Мн-во всех слов в алфавите А обознач. S(A), для алфавита В -S(B). S’(A )-подмн-во S(A) и его слова наз. сообщениями. Пусть дано отображение F, кот. каждому слову A S’(A) ставит в соотв. слово B S(B), B=F(A), тогда слово B наз. кодом слова А, а сам переход от слова А к В наз. кодированием. Основная з-ча теории кодирования – найти такое F при заданных алфавитах А и В и мн-ве сообщений S, кот. обладает опред. св-вами и оптимально в некотором смысле. Рассм. алфавитн. кодирование, при кот. каждой букве a_i A ставится в соотв. слово B_i B, т.е.

и эта схема наз. схемой алфавитного кодирования. |B_i|= - длина слова B_i Пусть даны вероятности p₁,p₂…p_n появления в сообщениях соотв. букв a₁, …a_n. Для определённости . Очевидно . Ценой или длиной алфавитного кодирования ∑ при данном распределении P=( p₁,p₂…p_n) наз. величина . Цена кодирования означает матем. ожидание коэффиц. увеличения длины сообщения. Алфавитное кодирование , для кот. вып. усл-е наз. алфавитным кодированием с min избыточностью или оптимальным кодированием при данном распределении вероятности P, где Коды Хоффмана(строит оптимальный код). Суть алгоритма: находим буквы a_i, a_j алфавита А, кот. им. наименьшие вероятности. Затем эти 2 буквы заменяют новой буквой х, вер-ть кот. = сумме вер-тей букв a_i, a_j. После этого к алфавиту, у кот. кол-во букв уменьшилось на 1, применяем описанную процедуру и т.д. Для реализ. алг-ма Хоффмана исп. лес. В начале работы алгоритма лес сост. из n деревьев, кот. явл. вершины, соотв. буквам алфавита. Каждому такому дереву(вершине) приписана вероятность соотв. буквы. Замене букв a_i, a_j буквой x будет соотв. операция объединения 2-х деревьев в одно, при этом левым ребёнком в объед. дереве должна быть вершина с меньшей вероят-ю.

В алгоритме будет исп. очередь с приоритетами Q, в кот. хранятся символы алфавита А. Приоритет эл-та a_i в этой очереди опред. вер-ю p_i. Исп. процедура allocate_node() для выделения памяти, фун-ии :extract_min() – изъятие из мн-ва min эл-та, insert(Q, x)- добавление эл-та x ко мн-ву Q.

Huffman(A):

1) n:=|A| Q:=A 2) for i:=1 to n-1 do z:= allocate_node 3) x:=left[z]:=extract_min(Q)

y:=right[z]:=extract_min(Q) 4) P(Z):=p(x)+p(y) 5) insert(Q, z) 6) return extract_min(Q)

Время работы алгоритма O(n log₂n).

38(19). Выпуклое программирование. Теорема Куна –Таккера. Функция (х), определенная на выпуклом множестве X, называется выпуклой(вогнутой), если для любых точек х' и x" из этого множества и любого 01 справедливо неравенство

(x'+ (1 -)х")(х') +(1 -)(x").М-во МХ назыв выпуклым, если любых a,b из М отрезок их соединяющий включается в М.

Задачи оптимизации (экстремальные задачи) - задачи вида: Задано векторное пространство X, функционал f: XR{+} и подмножество MX. Требуется найти минимальное значение функционала f на множестве M. При этом f называется целевым функционалом, множество X – основным пространством задачи, множество M задает ограничения задачи, его элементы называются допустимыми для задачи. Задачу оптимизации называют выпуклой, если целевой функционал f и ограничения M являются выпуклыми (соответственно, как функция и как множество).

Теорема 1 (Кун, Таккер). Пусть X – векторное пространство, fi:XR{+}, i=0,…,m – некоторые функционалы, AX. Предположим, что множество B={(b0, b1,…,bm)Rm+1| xA: i=0,..,m fi(x)bi} – непустое и выпуклое. Тогда 1) Если x* – решение задачи (1) то найдется ненулевой вектор множителей Лагранжа *=(0*,…,m*)Rm+1, такой что для функции Лагранжа L(x,)= выполняются следующие условия: а) принцип минимума для функции Лагранжа: L(x,*)= L(x*,*);(2) б) условие дополняющей нежесткости: _i*f_i(x*) = 0, i=1,…,m; (3)

в) условие неотрицательности: i*  0, i=0,…,m; (4)

2) Если ₀* > 0, то условия (2) - (4) достаточны для того, чтобы допустимая точка x* была решением задачи (1). 3) Для ₀* > 0 достаточно выполнения условия Слейтера: x1A: i=1,…,m fi(x1) < 0. (5) Схема док-ва условий для мн-ей Лагранжа.

А) Пусть x* - решение задачи (1). Будем считать, что f₀(x*)=0 (заменим f₀(x) на f₀(x) - f₀(x*)). Пусть C = {(c0, 0,…,0)Rm+1| c0 < 0}. Мн-во C – непустое и выпуклое. Далее док-ваем от противного, что BC=.Т к В и С не пусты и выпуклы и не пересеаются -> что существует не нулевой вектор для которого справедливо неравенство Т.к ненулевой вектор тоже принадлежит В, получим а с другой стороны т.к Следво для всех bB выполняется условие (6). Аналогично если поменять местами B и С.

Г) Для каждого j=0,…,m вектор ej=(0,…,1,…,0) (1 на j+1-м месте) входит в множество B, поэтому его можно подставить в (6), из чего получаем условие неотрицательности (4).

Д) Зафиксируем i. Если fi(x*) = 0, то i*fi(x*)=0. Предположим, что fi(x*)  0, т.е. fi(x*) < 0. Тогда вектор b=(0,…, fi(x*),…,0) B. Подставляя его в (6), получаем неравенство i*fi(x*) 0. Однако с учетом того, что fi(x*) < 0, i* 0, получаем, что i*= 0, а значит, снова i*fi(x*)=0. Условие (3) доказано.

Е) Пусть xA. Тогда вектор b=( f0(x),…, fi(x),…, fm(x)) B. Подставляя его в (6), получаем: = L(x,*)  0. С учетом усл-я дополняющей нежесткости получаем, что L(x*,*)= =0., т.е для всех xA выполняется неравенство L(x,*)  0 = L(x*,*), которое означает выполнение принципа минимума (2).

Пусть F=F(x,) – функция двух переменных, определенная для всех xQX и всех MRm+1. Точка (x*,*), x*Q, *M называется седловой для функции F, если для всех xQ и всех M, выполняется неравенство: F(x*, )  F(x*, *)  F(x, *).

С помощью понятия седловой точки можно сформулировать теорему Куна-Таккера: Теорема 2. Рассмотрим выпуклую задачу (1), для которой выполнено условие Слейтера (5).

1) Если x*- допустимый вектор, *0 (*0=1) и (x*,*) – седловая точка для функции Лагранжа L(x,)= на множестве допустимых векторов x и 0 (0=1), то x*- решение задачи (1).

2) Пусть x*- решение задачи (1). Тогда найдется вектор *0, такой что пара (x*,*) – седловая точка для функции Лагранжа L(x,) на множестве допустимых векторов x и 0 (0=1). В обоих случаях выполняются условия дополняющей нежесткости (3).

39(12). Давление идеального газа.П рирода давления газа. Оценка давления газа для случая, когда скорости всех молекул одинаковы и направления движения строго определены относительно стенок сосуда. Оценка давления газа для общего случая. Связь давления и средней кинетической энергии молекул. Давление газа на стенку сосуда есть результат ударов молекул газа о стенку этого сосуда. Рассмотрим систему, состоящую из очень большого числа атомов или молекул, считая их маленькими, не взаимодействующими между собой шариками. Пусть вследствие малости объемов молекул по сравнению с объемом сосуда, в который они заключены, большую часть времени любая молекула находится в движении, относительно редко сталкиваясь с другими молекулами. Столкновения молекул газа со стенками, как показывает опыт, вызывают её упругое отражение. За давление газа принимают величину P = F/S , определяемую, как отношение силы, действующей на участок стенки сосуда со стороны ударяющих молекул к площади этого участка, усредненную за очень большие по сравнению с длительностью удара и длительностью промежутка времени между двумя последовательными ударами промежутки времени.

Установим количественную характеристику давления, применив упрощенный подход. Очевидно, что в однородном изотропном пространстве любые направления движения молекул равновероятны. Как следствие, в трехмерном пространстве в направлении избранной оси движется 1/3 N молекул, если N — полное число молекул, находящихся в рассматриваемом объеме. Если считать, что половина молекул движется «вдоль» оси, другая половина – «против», то в выделенном направлении будет двигаться 1/6 от общего числа молекул. Сделаем предельно упрощающее задачу приближение: все молекулы, содержащиеся в объеме, обладают одинаковой по модулю скоростью v.

В озьмем плоскую площадку ∆S, перпендикулярную выбранной оси, нормаль к которой направлена навстречу налетающим молекулам.

Второй закон Ньютона устанавливает связь между силой, действующей со стороны площадки и изменением импульса, налетающей молекулы: ∆ (m ) = ∆t. Проектируя на направление нормали, .

Е сли молекулы отражаются от площадки упруго, то v1 = v2 = v и =2mv⋅ .

Взаимодействие газа со стенкой будет определяться теми молекулами, которые смогут достичь стенки за время ∆t. Если n — концентрация молекул газа, то за время ∆t на площадку ∆S попадет ∆N молекул, равное ∆ N= 1/6 ∆S v ∆t.

Следовательно,

Одновременно о стенку сосуда ударяется громадное количество молекул.

Практически бесконечно малые силы отдельных ударов складываются в конечную и практически постоянную силу. Т.о., давление, оказываемое молекулами газа на стенку, равно .

Учитывая, что кинетическая энергия одной молекулы рассматриваемого газа равна E = m /2, получаем P = 2/3 nE. (1)

Теперь последовательно устраним оба принятых упрощающих условия, попутно обсудив ценность приближений, принимаемых в физике.

Замечание для студентов. На этом можно попытаться остановиться, указав, что можно показать, что формула (1) справедлива также и для случая когда молекулы движутся с различными скоростями (при этом в (1) кинетическую энергию Е необходимо заменить на среднюю кинетическую энергию E ), а также для случая когда молекулы движутся хаотично, а не только по направлениям перпендикулярным стенкам. При необходимости оба доказательства приведены далее.

Проведем рассмотрение применительно к единичному объему газа. Допустим, что молекулы газа имеют разные скорости: молекул (в единице объема газа) движутся со скоростью , — это следующее приближение. Причем полное число молекул газа (в единице объема) равно

а средняя скорость молекул

Аналогично можем записать и для средней кинетической (другой нет) энергии молекул: Заметим, что из этого сразу следует

Последнее выражение определяет полную энергию молекул газа, содержащихся в рассматриваемом объеме. Поскольку все группы молекул распределены в пространстве изотропно, то понятно, что в выделенном нами направлении будет двигаться 1/6Nмолекул. Число ударов о площадку ∆S за время ∆t со стороны молекул i-ой группы: , а полное число ударов равно

, или . Откуда, Т.о., снова получаем основное уравнение кинетической теории газов (1): =2/3 . Наконец, сделаем последний штрих в проводимом нами рассмотрении: откажемся от коэффициента 1/6 и учтем угловое распределение молекул. Зададим направление движения молекулы в точке О с помощью сферических координат, т.е. введем углы ϕ и ψ, однозначно определяющие любое направление в пространстве.

О кружим точку О сферой произвольного радиуса r. Молекулам, движущимся вдоль вектора , на поверхности сферы будет соответствовать точка A. Все направления движения молекул в пространстве, по-прежнему, равновероятны. Поэтому на единицу площади поверхности сферы приходится точек, соответствующих возможным направлениям скорости молекул. Здесь: N — число возможных направлений движения молекул (число точек на сфере), — площадь поверхности сферы. Естественно, в процессе столкновений молекул друг с другом направление их скорости меняется. Однако из-за очень большого общего числа молекул газа можно считать, что число молекул, поменявших в результате столкновений скорость со значения vi на vk в среднем равно числу молекул, у которых скорость изменилась с на . Это утверждение является важнейшей концепцией равновесия систем, содержащих очень большое число частиц. Число возможных направлений бесконечно, а число молекул, даже в очень больших системах, конечно. Поэтому имеет смысл ставить вопрос не о точном значении угла, а о бесконечно узком интервале углов вблизи некоторого заданного значения.

(2)

40(16). Внутренняя энергия идеального газа. Закон Джоуля Воспользуемся первым началом термодинамики в форме . Для квазистатических процессов, в которых термодинамические параметры испытывают бесконечно малые изменения, уравнение, выражающее первое начало термодинамики, принимает вид: δQ = dU + δA (1). Если внутренняя энергия системы не изменяется (∆U = 0) и к системе не подводится тепло (∆Q = 0), из первого начала неизбежно следует, что A = 0. Это означает, что невозможен процесс, единственным результатом которого являлось бы производство работы без каких бы то ни было изменений в других телах. Механизм для осуществления такого процесса получил название перпетуум мобиле (вечный двигатель I рода). Т.о., из первого начла термодинамики следует невозможность построения вечного двигателя. Т.е. теплота ∆Q, полученная системой, идет на приращение её внутренней энергии ∆U и на производство внешней работы A. Термическим уравнением состояния идеального газа является уравнение Менделеева-Клапейрона, имеющее для одного моля газа вид PV = RT. Чтобы установить калорическое уравнение состояния газа, мы должны обратиться к экспериментам, которые позволили дать ответ на вопрос о зависимости внутренней энергии идеального газа от объема. Эти опыты были проведены Гей-Люссаком, Джоулем и, наконец, Джоулем совместно с В.Томсоном. Схема опыта Джоуля и В. Томсона, выполнивших за десятилетие (1852-1862гг.) безупречные экспериментальные исследования, существенно отличалась от использованной в двух предыдущих работах. Это привело исследователей к более далеко идущим физическим выводам. Однако для нас на данный момент наибольший интерес представляет именно ответ на вопрос о зависимости внутренней энергии газа U от занимаемого им объема. Поэтому мы остановимся только на рассмотрении простой идеи, положенной в основу опытов сначала Гей-Люссака, а затем Джоуля. Два сосуда одинаковых объемов A и B соединены трубкой с краном. Сосуд A наполнен воздухом, а сосуд B откачан. Вся система является жесткой и адиабатически изолированной. Поэтому внешняя работа не производится (δA′ = 0), теплообмена с окружающей средой нет (δQ = 0). Т.о., первое начало дает dU = δQ + δA′ = 0. Откроем кран. Воздух из сосуда A устремляется в сосуд B. Дождемся теплового равновесия, т.е. установления во всей системе, включающей в себя оба сосуда, одинаковой температуры. Опыт показывает, что температура газа не изменяется, когда его объем удваивается, т.е. в системе A + B она остается, равной первоначальной температуре T воздуха в сосуде A. Отсюда следует вывод, что внутренняя энергия идеального газа не зависит занимаемого им объема. Другими словами, для идеального газа внутренняя энергия U функционально зависит только от температуры T. Этот опытный факт называется законом Джоуля. Физический смысл результата, вытекающего из опыта Джоуля – отсутствие взаимодействия между молекулами идеального газа. Функция U = U(T) может быть выражена через теплоемкость CV идеального газа. Т.к. для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объема, то , т.е. сама теплоемкость идеального газа является функцией только температуры и не зависит от объема. Опыт показывает, что и для многих реальных газов величина в широком температурном интервале остается практически постоянной. Начиная с температур порядка 100 К и до температур порядка 1000 К, можно пренебречь зависимостью от температуры и использовать простую формулу U = T, H = T.