9(15).Закон больших чисел в форме Чебышева.

Случайной наз. величина в результате испытаний принимающая одно из мн-ва своих значений заранее не известное и зависящее от случайных величин, учесть, которые невозможно.

Последовательность СВ {ξn} сходится к СВ ξ по вероятности , если 0 limn→∞P{|ξnξ|}=0 или limn→∞P{|ξnξ|}=1

Говорят, что последовательность СВ {ξn} удовлетворяет закону больших чисел(ЗБЧ), если среднее значение этих СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат. ожиданий , т.е. 0 ;

Неравенство Чебышева. Для любой СВ ξ имеющей конечную дисперсию (Dξ<+∞) справедливо неравенство: P{|ξ-Mξ|≥}≤Dξ/ , для  >0

Теорема (ЗБЧ в форме Чебышева) Если последовательность независимых СВ ξ1, ξ2,…ξn имеет конечные мат. ожидания Мξi<+∞, i=1,n и дисперсии СВ ограничены одной и той же постоянной Дξi≤С, С=const, i=1,n то последовательность удовлетворяет ЗБЧ

Док-во: Покажем, что выполняется соотношение

Воспользуемся неравенством Чебышева: P{|ξ-Mξ|≥}≤Дξ/ , 0

Обозначим тогда , а (независимые СВ)

=> ч.и т.д.

Эта теорема утверждает, что среднее арифметическое большого числа независимых СВ утрачивает характер СВ, т.е. сходится по вероятности к некоторому постоянному числу.

Теорема(необходимое и достаточное условие ЗБЧ) Пусть ξ1, ξ2,…ξn - последовательность произвольных СВ,для кот.выполн.след.соотношение

, тогда рассм-я последовательность удовлетворяет ЗБЧ.

10(23).Формула полной вероятности. Теорема Байеса. Случайным наз.событие, кот.при выполнении некот.совокупности условий S может произойти или не произойти. Вероятность события А вычисл.в предположении,что нек.соб.B уже произошло наз.условной вероятностью события Аи обознач. .

События А1…An образуют полную группу событий если выполняется: 1) хотя бы одно из событий обязательно происходит

2) события попарно несовместны: т.е. , ,

Теорема: Вероятность события В, которое может произойти только вместе с одним из событий А1…An, образующих полную группу событий,тогда вероятность события B определяется по формуле док-во:Рассмотр.событие , события ВA_i и BА_j несовместны т.к. , тогда получим

Теорема Байеса: Пусть событие В может произойти только вместе с одним из событий А1…An, образующих полную группу, тогда P(A_k) , вычисленная в предположении, что событие В уже произошло определяется

к=1,n. Док-во По определению условной вероятности ч.т.д.

11(20). Теорема о выборочной средней и выборочной дисперсиии.Опр.Выборочной совокупность. (выборкой) назюсовокупность случайно отобранных объектов.Опр.Генеральной совокупностью наз. совокупность объектов из которой производится выборка.Выборочные характеристики: 1)выборочной средней наз.характеристика вариационного ряда определ.по формуле _{. 2)Выборочной дисперсией наз.характеристика вариационного ряда опред.по формуле} Требования предъявляемые к статистическим оценкам: 1)^*- несмещенная оценка:М^*=.Если LimМ^* = при n,то оценка наз.ассимптотически несмещенной.Это требование означ,что по крайней мере в среднем оценка приводит к желаемому результату. 2)^*-состоятельная оценка:.Иногда на практике проверяют достаточные условия состоятельности: а) LimM^*=при n; b)LimД^*=0 при n; с)^*-эффективная оценка;Опр.Несмещенная оценка параметра  называется эффективной, если среди других несмещенных оценок этого параметра она имееет наименьшую дисперсию.Теорема (О выборочной средней).Выборочная средняя () вычисленная по n-независимым наблюдениям проведенные при одинаковых условиях над СВ Х,с MX=m;DX= является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания и генеральной совокупности.Доказательство: 1)Несмещенность: , [элементы выборки явл.СВ,т.к.попадание в выборку случайно]= =[т.к х_i независимые,одинакаво распределенные CD подчиненные тому же закону распредел.что и генерал.совокуп.X поэтому Мх_i=МХ;Дх_i=ДХ] =(1/n) =m. . 2)Состоятельность: ,.Воспольземся нер-ом Чебышева P{|ξ-Mξ| ≤}≥ 1-Дξ/². ;;

т.е.

Теорема (О выборочной дисперсии) Выборочная дисперсии (Д_в) вычисленная по n-независимым наблюдениям проведенных по одинаковым условиям над СВ Х с MX=m и ДХ=² явл.смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.