3 Расчет значения установившейся ошибки

Важной характеристикой систем управления является величина точности в установившемся режиме, которая характеризуется значением установившейся ошибки, определяющейся по формуле 3.1.

. (3.1)

Согласно теореме о конечном значении оригинала свойств преобразования Лапласа, данное выражение может быть записано формулой 3.2.

. (3.2)

Передаточная функция по сигналу ошибки определяется формулой 3.3.

. (3.3)

Из формулы 10 получим формулу 3.4.

. (3.4)

Значение установившейся ошибки по входному сигналу определяется по формуле 3.5.

, (3.5)

где: W(S) – передаточная функция по ошибке;

x(S) – преобразование Лапласа от входного сигнала x(t) /1/.

;

.

Аналогично вычисляется значение установившейся ошибки по воздействию помехи.

Вывод:

в установившемся режиме работы системы величина установившейся ошибки по входному сигналу , а по помехе .

4 Определение характеристик сау в векторно-матричном виде

4.1 Определение матриц A,B,C,D

Матрица состояния (собственная матрица) A показывает взаимосвязь между вектором производных и вектором состояния.

Матрица управления B показывает связь между вектором управления и вектором скоростей (производных состояний).

Матрица наблюдения C показывает взаимосвязь выходного сигнала системы с вектором состояния, т.е. какая составляющая вектора состояния может быть измерена.

Матрица обхода D показывает связь между управлением и выходным сигналом/2/.

Динамика рассматриваемой системы (Рисунок 1), описывается передаточной функцией вида:

>> systf=tf([1.65 0825],[0.2 2.3 6.565 1.825])

Transfer function:

1.65 s + 825

-----------------------------------

0.2 s^3 + 2.3 s^2 + 6.565 s + 1.825

>> sysss=ss(systf)

a =

x1 x2 x3

x1 -11.5 -1.026 -0.01782

x2 32 0 0

x3 0 16 0

b =

u1

x1 4

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 0 0.06445 2.014

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

4.2 Определение управляемости и наблюдаемости САУ

Система называется управляемой, если существует ограниченный вектор управления, под действием которого она переводится за конечное время из любого начального состояния в начало координат.

Условие управляемости: система полностью управляема, если ранг матрицы управляемости P равен порядку системы.

Система называется наблюдаемой, если по измеренным значениям компонент вектора при заданном управлении можно определить начальное значение вектора состояния.

Условие наблюдаемости: система полностью наблюдаема, если ранг матрицы наблюдаемости Q равен порядку системы /2/.

>> A=[-11.5 -1.026 -0.01782; 32 0 0; 0 16 0]

>> B=[4; 0; 0]

>> C=[0 0.06445 2.014]

>> D=[0];

>> Pc=ctrb(A,B)

Pc =

1.0e+003 *

0.0040 -0.0460 0.3977

0 0.1280 -1.4720

0 0 2.0480

>> n=det(Pc)

n =

0

>> r=rank(Pc)

r =

3

>> Q=obsv(A, C)

Q =

1.0e+003 *

0 0.0001 0.0020

0.0020 0.0322 0

1.0076 -0.0021 -0.0000

>> n=det(Q)

n =

-6.5402e+004

>> r=rank(Q)

r =

3

Из рассчетов видно, что система не полностбю наблюдаема и управляема, т.к. по теореме Р.Калмана для обладания системы данными свойствами необходимо, чтобы выполнялись условия:

;

.

4.3 Определение фундаментальной матрицы и положения системы

Фундаментальная матрица (матрица перехода) Ф описывает движение конца вектора состояния из начального положения в конечное, зависит от времени и матрицы состояния А /2/.

Определим фундаментальную матрицу для момента времени t=10 и начальных условий /5/.

>> dt=10

dt =

10

>> Phi=expm(A*dt)

Phi =

0.0002 0.0001 0.0000

-0.0168 -0.0059 -0.0010

0.8525 0.2980 0.0488

>> x0=[4;0;4]

>> x0=[10;0;10]

x0 =

10

0

10

>> x=Phi*x0

x =

0.0017

-0.1771

9.0133

4.4 Определение устойчивости системы

Определим собственные числа матрицы состояния. Подтвердим устойчивость системы, вычислив реакцию на ступенчатое входное воздействие.

>> eig(A)

ans =

-6.9942

-4.1914

-0.3144

С учётом того, что собственные значения матрицы А, есть ни что иное, как корни характеристического уравнения, то согласно теоремы Ляпунова, необходимым и достаточным условием устойчивости является - нахождение всех собственных значений матрицы А в левой части комплексной плоскости. Таким образом, они должны иметь отрицательную вещественную часть. В нашем случае все корни находятся в левой части комплексной плоскости, что свидетельствует о подтверждении устойчивости данной системы.

Вывод:

определили матрицы , , , . Система управляема и наблюдаема не полностью, т.к. ранг матриц P и Q не равен порядку системы в обоих случаях. Определили фундаментальную матрицу для момента времени t=10 и начальных условий . Определили собственные числа матрицы состояния . Подтвердили устойчивость системы, вычислив реакцию на ступенчатое входное воздействие.