2.1 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Нахождение корней агебраического уравнения выше второго порядка представляет определенную сложность, поэтому разрабатываются различные критерии, позволяющие упростить процедуру определения устойчивости.

Так, математик Гурвиц предложил алгебраический критерий, в котором условие устойчивости записывается в ряде неравенств.

Характеристическое уравнение имеет вид:

(2.3)

Уравнение (2.3) имеет прядок. С учётом необходимых условий устойчивости: - по критерию Гурвица (где, -коэффициенты характеристического уравнения), область устойчивости в плоскости коэффициентов kτ будет иметь вид, приведённый на рисунке 2.

Границы области устойчивости будут определяться неравенствами:

Область устойчивости

(2.4)

Рисунок 2. - График границ области устойчивости

При решении задачи синтеза, проектирования систем необходимо выбрать параметры (kτ), значения которых находятся в заштрихованной области устойчивости. В данном случае выберем k=0.5; τ=2 и в дальнейшем будем работать, учитывая их значения.

Вывод:

Благодаря алгебраическому критерию Гурвица можно определить область устойчивости САУ и параметры k,τ – регулятора, исходя из полученного графика (Рисунок 2). Данный критерий широко используется при исследовании систем до порядка (n<5).

2.2 Определение запасов устойчивости и основных показателей качества сау с помощью Matlab

2.2.1 Определение устойчивости замкнутой системы по корням характеристического уравнения по критерию Найквиста.

Частотный критерий Найквиста был разработан в 1932 году для усилителей с обратной связью. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой САР по АФЧХ (Амплитудно-Фазовая Частотная Характеристика) разомкнутой системы.

Критерий Найквиста: «Для устойчивости системы в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси (-1;- ) при изменении частоты от 0 до было равно ».

С помощью встроенных функций Matlab построим годограф Найквиста разомкнутой системы (1.1), а так же определим расположение полюсов, что позволит сделать вывод об устойчивости замкнутой системы:

>> sys=tf([3.465 1.7325],[0.2 2.3 3.1 1])

Transfer function:

3.465 s + 1.732

-----------------------------

0.2 s^3 + 2.3 s^2 + 3.1 s + 1

>> nyquist (sys)

>> pzmap(sys)

L_зап

 _зап

Рисунок 3.- График «годограф Найквиста»

Рисунок 4.- График расположения полюсов разомкнутой системы

По рисунку 4 видно, что все корни вещественные с отрицательной частью, следовательно, система устойчива, характер движения апериодический.

Годограф Найквиста не охватывает точку (-1;j0). При анализе корней характеристического уравнения запас устойчивости определяется корнем наиболее близко расположенным к мнимой оси, т.е. S= -0,5.

2.2.2Определение устойчивости замкнутой системы по ЛАХ и ЛФХ

С помощью встроенных функций Matlab построим ЛАХ (Логарифмическая Амплитудная Характеристика) и ЛФХ (Логарифмическая Фазовая Характеристика) разомкнутой системы (1.1), и определим устойчивость замкнутой системы:

>> sys=tf([3.465 1.7325],[0.2 2.3 3.1 1])

Transfer function:

3.465 s + 1.732

-----------------------------

0.2 s^3 + 2.3 s^2 + 3.1 s + 1

>> bode (sys)

>> margin (sys)

h()

Lg



()

Lg



_c

_

Рисунок 5.- График ЛАХ и ЛФХ

По рисунку 5 видно, что _c < _ , следовательно, замкнутая система устойчива.

2.2.3 Определение запаса устойчивости САУ по амплитуде

Запас устойчивости по амплитуде по годографу Найквиста .

Запас устойчивости по амплитуде по логарифмическим характеристикам определяется на частоте  по формуле (2.5).

. (2.5)

Дб.

2.2.4 Определение запаса устойчивости САУ по фазе

Запас устойчивости по фазе по годографу Найквиста .

Запас устойчивости по фазе определяется на частоте среза по формуле (2.6).

. (2.6)

.

2.2.5 Определение времени регулирования САУ

Параметр есть время переходного процесса (время регулирования), характеризует быстродействие системы (звена). Представляет собой интервал времени, по истечении которого выходной сигнал h(t) системы (звена) становится постоянным (принимает устоявшееся значение ). На практике считается закончившимся тогда, когда разность между текущим и установившимся значением становится и остается меньше или равной от .

Переходная характеристика – реакция системы на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях. Построим переходную характеристику, которая представлена на рисунке 6. >> sys=tf([1.65 0825],[0.2 2.3 6.565 1.825])

Transfer function:

1.65 s + 825

-----------------------------------

0.2 s^3 + 2.3 s^2 + 6.565 s + 1.825

>> pzmap(sys)

>> sys=tf([1.65 0.825],[0.2 2.3 6.565 1.825])

Рисунок 6. – График переходной характеристики

Пор рисунку 6 видно, что t_p=4 c.

2.2.6 Определение колебательности САУ

. (2.7)

.

Вывод:

Из графика (Рисунок 5) видно, что - условие устойчивости выполняется. Замкнутая САУ устойчива. По критерию Найквиста устойчивость замкнутой системы так же, выполняется, т.к. годограф (Рисунок 3) не охватывает точку (-1,j0). Определены основные показатели качества САУ: время регулирования t_p=4 c, величина перерегулирования .