1 Задача о выполнимости схемы
Рассмотрим схему из функциональных элементов «и», «или», «не» с n битовыми входами и одним выходом, состоящую не более, чем из O() элементов – рис 6.4
Будем понимать под выполняющим набором значений из множества {0,1} на входе схемы, такой набор входов – значения x1,…,xn, при котором на выходе схемы будет значение «1».
Формулировка задачи – существует ли для данной схемы выполняющий набор значений входа. Очевидно, что задача принадлежит классу NP – проверка предъявленного выполняющего набора не сложнее количества функциональных элементов, и следовательно не больше чем O().
Это была одна из первых задач, для которой была доказана ее NP полнота, т.е. любая задача из класса NP полиномиально сводима к задаче о выполнимости схемы.
Решение
этой задачи может быть получено перебором
всех возможных значений входа с
последующей проверкой на соответствие
условию выполняющего набора. В худшем
случае придется проверить все возможные
значения входа, что приводит к оценке
Для этой, как и для всех других NP–полных
задач не известен полиномиальный
алгоритм решения.
2 Задача о сумме
Уже рассмотренная задача о сумме также является NP–полной, отметим, что если количество слагаемых фиксировано, то сложность задачи является полиномиальной, так как:
для
2-х слагаемых
для
3-х слагаемых
Однако
в общем случае придется перебирать 2^n
различных вариантов, так как по
биномиальной теореме
, а при a=b=1, имеем:
Примеры задач:
Например, Вы хотите расставить как можно меньше вышек мобильной связи, но хотите покрыть какой-то набор дорог. Это и есть задача о вершинном покрытии.
Если Вы хотите рассадить в своем зоопарке по клеткам бегемотов, то Вам необходимо решить задачу о независимом множестве. Ведь известно, что бегемот из первой клетки не даст спокойно жить бегемотам из нулевой и третьей клеток (т.к. в графе есть ребра 1-0 и 1-3) и.т.д. Так, Вам нужно выбрать максимальное количество клеток, попарно не соединенных ребрами. Это и есть задача о независимом множестве.
Пример для клики. Если Вы хотите организовать самую большую вечеринку для «своих» (то есть, чтобы на вечеринке каждый знал каждого), то Вам необходимо решить задачу о максимальной клике. Обозначьте друзей вершинами, проведите ребро между двумя вершинами, если два этих друга знакомы и решите задачу о максимальной клике.