Лекция 3. Математическое обеспечение анализа проектных решений

3.1. Требования к математическим моделям и методам в сапр

Основными требованиями к математическим моделям являются требования адекватности, точности, экономичности.

Модель всегда лишь приближенно отражает некоторые свойства объекта. Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Под точностью понимают степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели.

Экономичность (вычислительная эффективность) определяется затратами ресурсов, требуемых для реализации модели. Поскольку в САПР используются математические модели, далее речь пойдет о характеристиках именно математических моделей, и экономичность будет характеризоваться затратами машинных времени и памяти.

Адекватность оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности. Область адекватности — область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых пределах. Например, область адекватности линеаризованной модели поверхности детали определяется системой неравенств:

где , и — -я координата -й точки поверхности в объекте и модели соответственно; и — допущенная и предельно допустимая относительные погрешности моделирования поверхности, максимум берется по всем координатам и контролируемым точкам.

Отметим, что в большинстве случаев области адекватности строятся в пространстве внешних переменных. Так, область адекватности модели электронного радиоэлемента обычно выражает допустимые для применения модели диапазоны изменения моделируемых температур, внешних напряжений, частот.

Аналогичные требования по точности и экономичности фигурируют при выборе численных методов решения уравнений модели.

3.2. Фазовые переменные, компонентные и топологические уравнения

Исходные уравнения для формирования моделей на макроуровне

Исходное математическое описание процессов в объектах на макроуровне представлено системами обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. Аналитические решения таких систем при типичных значениях их порядков в практических задачах получить не удается, поэтому в САПР преимущественно используются алгоритмические модели. В этом параграфе изложен обобщенный подход к формированию алгоритмических моделей на макроуровне, справедливый для большинства приложений.

Исходными для формирования математических моделей объектов на макроуровне являются компонентные и топологические уравнения.

Компонентными уравнениями называют уравнения, описывающие свойства элементов (компонентов), другими словами, математическая модель элемента (ММЭ) представляется компонентными уравнениями.

Топологические уравнения описывают взаимосвязи в составе моделируемой системы.

В совокупности компонентные и топологические уравнения конкретной физической системы представляют собой исходную математическую модель системы (ММС).

Очевидно, что компонентные и топологические уравнения в системах различной физической природы отражают разные физические свойства, но могут иметь одинаковый формальный вид. Одинаковая форма записи математических соотношений позволяет говорить о формальных аналогиях компонентных и топологических уравнений. Такие аналогии существуют для механических поступательных, механических вращательных, электрических, гидравлических (пневматических), тепловых объектов. Наличие аналогий приводит к практически важному выводу: значительная часть алгоритмов формирования и исследования моделей в САПР оказывается инвариантной и может быть применена к анализу проектируемых объектов в разных предметных областях. Единство математического аппарата формирования ММС особенно удобно при анализе систем, состоящих из физически разнородных подсистем.

В перечисленных выше приложениях компонентные уравнения имеют вид:

 (1)

топологические уравнения:

 (2)

где — вектор фазовых переменных, — время.

Различают фазовые переменные двух типов, их обобщенные наименования — фазовые переменные типа потенциала (например, электрическое напряжение) и фазовые переменные типа потока (например, электрический ток). Каждое компонентное уравнение характеризует связи между разнотипными фазовыми переменными, относящимися к одному компоненту (например, закон Ома описывает связь между напряжением и током в резисторе), а топологическое уравнение — связи между однотипными фазовыми переменными в разных компонентах.

Модели можно представлять в виде систем уравнений или в графической форме, если между этими формами установлено взаимно однозначное соответствие. В качестве графической формы часто используют эквивалентные схемы.

Ниже рассмотрим примеры компонентных и топологических уравнений для разных типов систем.

Электрические системы

В электрических системах фазовыми переменными являются электрические напряжения и токи. Компонентами систем могут быть простые двухполюсные элементы и более сложные двух- и многополюсные компоненты. К простым двухполюсникам относятся следующие элементы: сопротивление, емкость и индуктивность, характеризуемые одноименными параметрами , , . В эквивалентных схемах эти элементы обозначают в соответствии с рис. 1,а.

Компонентные уравнения простых двухполюсников:

• для сопротивления (закон Ома):

 (3)

• для емкости:

 (4)

• для индуктивности:

 (5)

где — напряжение (точнее, падение напряжения на двухполюснике); — ток.

Эти модели лежат в основе моделей других возможных более сложных компонентов. Большая сложность может определяться нелинейностью уравнений (3) — (5) (т.е. зависимостью , , от фазовых переменных), или учетом зависимостей параметров , , от температуры, или наличием более двух полюсов. Однако многополюсные компоненты могут быть сведены к совокупности взаимосвязанных простых элементов.

Топологические уравнения выражают законы Кирхгофа для напряжений (ЗНК) и токов (ЗТК). Согласно ЗНК, сумма напряжений на компонентах вдоль любого замкнутого контура в эквивалентной схеме равна нулю, а в соответствии с ЗТК сумма токов в любом замкнутом сечении эквивалентной схемы равна нулю:

 (6)

 (7)

где: — множество номеров элементов -го контура; — множество номеров элементов, входящих в -е сечение.

Рис. 1.  Компоненты электрических и механических систем

Пример 1

Примером ММ сложного компонента может служить модель транзистора. На рис. 2 представлена эквивалентная схема биполярного транзистора, на которой зависимые от напряжений источники тока и отображают статические вольтамперные характеристики p-n переходов, и — тепловые токи переходов, — температурный потенциал, и — напряжения на эмиттерном и коллекторном переходах, и — емкости переходов, и — сопротивления утечки переходов, и — объемные сопротивления тел базы и коллектора, — источник тока, моделирующий усилительные свойства транзистора, и — прямой и инверсный коэффициенты усиления тока базы. Здесь — фазовые переменные, а остальные величины — параметры модели транзистора.

Рис. 2.  Эквивалентная схема биполярного транзистора

Механические системы

Фазовыми переменными в механических поступательных системах являются силы и скорости. Используют одну из двух возможных электромеханических аналогий. В дальнейшем будем использовать ту из них, в которой скорость относят к фазовым переменным типа потенциала, а силу считают фазовой переменной типа потока. Учитывая формальный характер подобных аналогий, в равной мере можно применять и противоположную терминологию.

Компонентное уравнение, характеризующее инерционные свойства тел, в силу второго закона Ньютона имеет вид:

 (8)

где — сила; — масса; — поступательная скорость.

Упругие свойства тел описываются компонентным уравнением, которое можно получить из уравнения закона Гука. В одномерном случае (если рассматриваются продольные деформации упругого стержня):

 (9)

где — механическое напряжение; — модуль упругости; — относительная деформация; — изменение длины упругого тела под воздействием . Учитывая, что , где — сила, — площадь поперечного сечения тела, и дифференцируя (9), имеем:

или

 (10)

где — жесткость (величину, обратную жесткости, называют гибкостью ), — скорость.

Диссипативные свойства в механических системах твердых тел выражаются соотношениями, характеризующими связь между силой трения и скоростью взаимного перемещения трущихся тел, причем в этих соотношениях производные сил или скоростей не фигурируют, как и в случае описания с помощью закона Ома диссипативных свойств в электрических системах.

Топологические уравнения характеризуют, во-первых, закон равновесия сил: сумма сил, приложенных к телу, включая силу инерции, равна нулю (принцип Даламбера), во-вторых, закон скоростей, согласно которому сумма относительной, переносной и абсолютной скоростей равна нулю.

В механических вращательных системах справедливы компонентные и топологические уравнения поступательных систем с заменой поступательных скоростей на угловые, сил — на вращательные моменты, масс — на моменты инерции, жесткостей — на вращательные жесткости.

Условные обозначения простых элементов механической системы показаны на рис. 1,б.

Нетрудно заметить наличие аналогий между электрической и механической системами. Так, токам и напряжениям в первой из них соответствуют силы (либо моменты) и скорости механической системы, компонентным уравнениям (4) и (5) и фигурирующим в них параметрам и — уравнения (8) и (10) и параметры и , очевидна аналогия и между топологическими уравнениями. Далее параметры и будем называть емкостными (емкостного типа), параметры и — индуктивными (индуктивного типа), а параметры и — резистивными (резистивного типа).

Имеется и существенное отличие в моделировании электрических и механических систем: первые из них одномерны, а процессы во вторых часто приходится рассматривать в двух- (2D) или трехмерном (3D) пространстве. Следовательно, при моделировании механических систем в общем случае в пространстве 3D нужно использовать векторное представление фазовых переменных, каждая из которых имеет шесть составляющих, соответствующих шести степеням свободы.

Однако отмеченные выше аналогии остаются справедливыми, если их относить к проекциям сил и скоростей на каждую пространственную ось, а при графическом представлении моделей использовать шесть эквивалентных схем — три для поступательных составляющих и три для вращательных.

Гидравлические системы

Фазовыми переменными в гидравлических системах являются расходы и давления. Как и в предыдущем случае, компонентные уравнения описывают свойства жидкости рассеивать или накапливать энергию.

Рассмотрим компонентные уравнения для жидкости на линейном участке трубопровода длиной и воспользуемся уравнением Навье-Стокса в следующей его форме (для ламинарного течения жидкости):

где — плотность жидкости; — скорость; — давление; — коэффициент линеаризованного вязкого трения. Так как , где — объемный расход; — площадь поперечного сечения трубопровода, то, заменяя пространственную производную отношением конечных разностей, имеем:

или

 (11)

Здесь — падение давления на рассматриваемом участке трубопровода; — гидравлическая индуктивность, отражающая инерционные свойства жидкости; — гидравлическое сопротивление, отражающее вязкое трение.

Примечание 1

В трубопроводе круглого сечения радиусом удобно использовать выражение для гидравлического сопротивления при ламинарном течении: , где — кинематическая вязкость; в случае турбулентного характера течения жидкости компонентное уравнение для вязкого трения имеет вид при .

Интерпретация уравнения (11) приводит к эквивалентной схеме, показанной на рис. 3.

Рис. 3.  Эквивалентная схема трубопровода

Явление сжимаемости жидкости описывается компонентным уравнением, вытекающим из закона Гука:

 (12)

Дифференцируя (12) и учитывая, что объемный расход связан со скоростью соотношением , получаем:

где — гидравлическая емкость.

Связь подсистем различной физической природы

Используют следующие способы моделирования взаимосвязей подсистем: с помощью трансформаторной связи, гираторной связи и с помощью зависимости параметров компонентов одной подсистемы от фазовых переменных другой. В эквивалентных схемах трансформаторные и гираторные связи представлены зависимыми источниками фазовых переменных, показанными на рис. 4. На этом рисунке — коэффициент трансформации; — передаточная проводимость; и — фазовые переменные в -й цепи; соответствует первичной, а — вторичной цепи.

Рис. 4.  Трансформаторные и гираторные связи

Примечание 2

Следует отметить, что рассмотренные аналогии фазовых переменных, топологических и компонентных уравнений разных физических систем нашли свое отражение в международном стандарте VHDL-AMS, в котором фазовые переменные типа потенциала названы переменными across quantity, а переменные типа потока — through quantity.