2. Постановка задачи

1. В качестве изучаемой системы берется экономика условного объекта. Входными показателями объекта считаются:

К (t_i) - величина основных производственных фондов (млрд. руб.)

L (t_i) - величина используемых трудовых ресурсов (число занятых в производстве тыс. чел.).

В качестве выходного показателя принимается X (t_i) - величина валового выпуска продукции (млрд. руб.).

2. В качестве математической модели изучаемого объекта принимается производственная функция Кобба-Дугласа вида:

X = A *K(t_i) ^α1 * L(t_i) ^α2 (1)

3. Необходимо определить параметры уравнения (1): А, α₁ и α₂. Для этой цели:

а) произвести логарифмирование уравнения (1):

lnX(ti) = lnA+α₁*lnK(ti)+α₂ *lnL(ti) ; (2)

б) используя стандартную функцию «ln» табличного редактора (ТР) «Excel» найти значения величин lnX(ti), lnK(ti), In L(ti); (исходные данные и результаты вычисления представить в табличном виде).

в) определить диапазон изменения входных показателей lnK(t_i) и lnL(t_i), используя стандартные функции ТР «Excel» МИН, МАКС;

г) вычислить параметры A, α₁ и α₂, используя из стандартного набора подпрограмм ТР «Excel»,программу «ЛИНЕЙН»;

д) вычислить величину коэффициента нейтрального технического прогресса А, используя стандартную функцию «ЕХР» ТР «Excel»;

е) привести вид полученного уравнения регрессии, статистические характеристики: R2, Fрасч, df (число степеней свободы), (1-а)-достоверность уравнения регрессии, (1-в) - достоверности найденных коэффициентов уравнения регрессии; Fпред. (из таблиц);

ж) дать обоснованные выводы из полученных статистических оценок.

4. Записать найденную производственную функцию Кобба-Дугласа.

5. Вычислить, используя ТР «Excel»:

а) предельные эффективности факторов:

(3)

(4)

б) средние фондоотдачи и производительности труда каждого года:

6. Построить графики (диаграммы) изменения [X(t_i); К(t_i); L(t_i),] [lnX(t_i); lnK(t_i); lnL(t_i)]; [β(t_i); γ(t_i); f(t_i); p(t_i)]. Дать экономический анализ изменения величин и охарактеризовать влияние динамики изменения входных и выходных показателей на точность нахождения параметров математической модели.

3. Алгоритм решения и экономический анализ полученных результатов

1. В качестве изучаемой системы возьмем экономику условного объекта. Входными показателями объекта считаются:

К (t_i) - величина основных производственных фондов (млрд. руб.)

L (t_i) - величина используемых трудовых ресурсов (число занятых в производстве тыс. чел.).

В качестве выходного показателя принимается X (t_i) - величина валового выпуска продукции (млрд. руб.).

2. В качестве математической модели изучаемого объекта принимается производственная функция Кобба-Дугласа вида:

X = A *K(t_i) ^α1 * L(t_i) ^α2 (1)

3. Определим параметры уравнения (1): А, α₁ и α₂. Для этой цели:

а) произведем логарифмирование уравнения (1):

lnX(ti) = lnA+α₁*lnK(ti)+α₂ *lnL(ti) ; (2)

б) для этого, используя стандартную функцию «ln» табличного редактора (ТР) «Excel» найдем значения величин lnX(ti), lnK(ti), In L(ti);

Исходные данные:

К(t)	L(t)	X(t)
125	11.8	22.01
144	12	22.98
165	12.3	24.13
190	12.5	25.54
219	12.8	26.71
175	13.3	26.17
140	13.8	25.44
112	14.4	24.65
90	14.9	24.15
99	15.8	25.74
108	16.8	27.45
119	17.8	29.58
131	19.6	32.47
184	21.5	37.78
257	23.7	44.23

Найдем значения величин lnX(ti), lnK(ti), In L(ti):

ln Kt	ln Lt	ln Хt
4.828314	2.4681	3.091497
4.969813	2.484907	3.134624
5.105945	2.509599	3.183456
5.247024	2.525729	3.240246
5.389072	2.549445	3.285038
5.164786	2.587764	3.264614
4.941642	2.624669	3.236323
4.718499	2.667228	3.204777
4.49981	2.701361	3.184284
4.59512	2.76001	3.248046
4.682131	2.821379	3.312366
4.779123	2.879198	3.387098
4.875197	2.97553	3.480317
5.214936	3.068053	3.63178
5.549076	3.165475	3.789403

в) определим диапазон изменения входных показателей lnK(t_i) и lnL(t_i), используя стандартные функции ТР «Excel» МИН, МАКС:

	ln Kt	ln Lt
min	4.4998097	2.4680995
max	5.5490761	3.165475

г) вычислим параметры α₁ и α₂, используя из стандартного набора подпрограмм ТР «Excel»,программу «ЛИНЕЙН»;

=ЛИНЕЙН(F2:F16;D2:E16;1;1)

α2	α1	a0
0.747725	0.248226	0.0445007
0.004399	0.003213	0.0186471
0.999693	0.003599	#Н/Д
19543.26	12	#Н/Д
0.506339	0.000155	#Н/Д

д) вычислим величину коэффициента нейтрального технического прогресса А, используя стандартную функцию «ЕХР» ТР «Excel»:

=EXP(C22)

А

1.045506

е) приведем вид полученного уравнения регрессии, статистические характеристики: R2, Fрасч, df (число степеней свободы), (1-а)-достоверность уравнения регрессии, (1-в) - достоверности найденных коэффициентов уравнения регрессии; Fпред. (из таблиц) (Приложение 2).

Уравнение регрессии будет иметь вид:

y(t) = B + α₁ x₁(t) +α₂x₂(t) (6)

y(t) = 0,044 + 0,25 lnK(t_i) +0,75 lnL(t_i).

Проведенный анализ позволяет сделать ряд выводов.

• множественный R, характеризующего тесноту связи между результатирующим показателем и независимыми переменными, равен 0,0,9998 (R приближено к 1) показывает, что связь между У с одной стороны и аргументами lnK(t_i) и lnL(t_i), с другой стороны является функциональной и линейной;

• значение множественного коэффициента детерминации (R²), равное 0,99969 свидетельствует о значительном влиянии факторов на результатарующий показатель;

• стандартная ошибка - это допустимое отклонение теоретического результатирующего фактора от фактического. В рассматриваемом варианте она равна 0,0036;

• уровень значимости F характеризует среднюю вероятность принятия нулевой гипотезы по уравнению в целом;

• коэффициенты уравнения регрессии: α₁ = 0,25, α₂ = 0,75 - показывают среднее изменение результата с изменением факторов на одну единицу;

• коэффициент В = 0,045 . Формально В - значение У при х₁ и х₂ = 0. Если признак фактор Х не имеет и не может иметь нулевого значения, то трактовка свободного члена В не имеет смысла. Параметр В может не иметь экономического содержания. Интерпретировать можно только знак при параметре В. Если В>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора;

• Р-значение - это вероятность принятия нулевой гипотезы по каждому коэффициенту уравнения регрессии. В данном расчетном случае она составляет 0,0343, что говорит о значимости этих факторов;

• нижние 95% и верхние 95% - это уровень доверия, которому соответствует 5%-ный уровень значимости, то есть вероятности ошибки. Значения этих показателей определяют минимальный и максимальный уровень коэффициентов, используемых в уравнении при 5%-ном уровне значимости;

На основании этих характеристик можно сделать вывод, о том, что модель достаточно точна, адекватна и пригодна для прогнозирования. Корреляционная связь, описанная уравнением

y(t) = 0,045 + 0,25 lnK(t_i) +0,75 lnL(t_i).

с большой долей вероятности точно характеризует взаимосвязь результатирующего показателя X (t_i) - величина валового выпуска продукции (млрд. руб.). с К (t_i) - величиной основных производственных фондов (млрд. руб.) и L (t_i) - величиной используемых трудовых ресурсов (число занятых в производстве тыс. чел.).

4. Запишем найденную производственную функцию Кобба-Дугласа.

X = A *K(t_i) ^α1 * L(t_i) ^α2

X = 1,05 *K(t_i) ^0,25 * L(t_i) ^0,75

5. Вычислим, используя ТР «Excel»:

а) предельные эффективности факторов:

(3)

(4)

γ	β
1.3947	0.04371
1.43189	0.03961
1.46688	0.0363
1.52775	0.03337
1.56029	0.03027
1.47128	0.03712
1.37841	0.04511
1.27996	0.05463
1.21192	0.06661
1.21813	0.06454
1.22173	0.06309
1.24257	0.0617
1.23871	0.06153
1.31391	0.05097
1.39544	0.04272

б) средние фондоотдачи и производительности труда каждого года:

ƒ	ρ
0.17608	1.86525
0.15958	1.915
0.14624	1.96179
0.13442	2.0432
0.12196	2.08672
0.14954	1.96767
0.18171	1.84348
0.22009	1.71181
0.26833	1.62081
0.26	1.62911
0.25417	1.63393
0.24857	1.6618
0.24786	1.65663
0.20533	1.75721
0.1721	1.86624

4. Построим графики (диаграммы) изменения [X(t_i); К(t_i); L(t_i),] [lnX(t_i); lnK(t_i); lnL(t_i)]; [β(t_i); γ(t_i); f(t_i); p(t_i)].

(Приложение 3,4,5)

На основании проведенных вычислений можно сделать вывод, что корреляционная связь, описанная уравнением

y(t) = 0,045 + 0,25 lnK(t_i) +0,75 lnL(t_i).

с большой долей вероятности точно характеризует взаимосвязь результатирующего показателя X (t_i) - величина валового выпуска продукции (млрд. руб.). с К (t_i) - величиной основных производственных фондов (млрд. руб.) и L (t_i) - величиной используемых трудовых ресурсов (число занятых в производстве тыс. чел.).