4

1. Кинематика

Средняя скорость тела за промежуток времени Δt определяется отношением перемещения тела Δr к промежутку времени Δt:

где – радиус–вектор начальной точки, – конечной.

Средний модуль скорости тела за промежуток времени Δt есть отношение пути S, пройденного телом за это время, к Δt:

Средним ускорением называется отношение изменения скорости ко времени, за которое оно произошло:

Мгновенная скорость равна производной радиус-вектора точки по времени и направлена по касательной к траектории; для прямолинейного движения ,

ускорения .

Кинематические соотношения для прямолинейного равнопеременного движения:

,

,

где υ₀ скорость тела в момент времени t = 0, a – ускорение тела.

При криволинейном движении полное ускорение тела раскладывается на нормальную и тангенциальную к траектории составляющие: .

Тангенциальная составляющая ускорения определяет изменение модуля скорости: ,

нормальная – изменение направления скорости:

,

где R–радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории.

Модуль полного ускорения:

.

При движении по окружности кинематическими характеристиками являются:

– угол поворота φ,

– угловая скорость ,

• угловое ускорение

ε = =.

Кинематические уравнения для вращательного равнопеременного движения:

,

где ω₀ – угловая скорость в момент времени t=0,  – угловое ускорение.

Линейные и угловые параметры движения связаны соотношением:

υ = ω R, a_τ = ε R.

2. Динамика поступательного движения

Уравнение динамики поступательного движения тела:

,

где m – масса тела, – его ускорение,

–сумма всех действующих на тело сил.

Импульсом тела называется произведение массы тела на его скорость: .

Закон изменения импульса:

Работой силы F на перемещении ds называется произведение проекции силы на направление перемещения на это перемещение:

dA = F_s ds = Fds cosα,

где α – угол между направлениями силы и перемещения.

Работа переменной силы вычисляется как:

.

Мощностью называют работу, произведенную за единицу времени: .

Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы, действующей на тело, на его скорость:

.

Кинетическая энергия тела при поступательном движении:

,

где m – масса тела, υ – его скорость.

Потенциальная энергия тела

– в однородном поле тяжести:

E_п = mgh

(m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота тела над точкой, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю);

– в поле упругих сил:

(k – коэффициент жесткости упругого тела, x – смещение от положения равновесия).

В замкнутой системе частиц полный импульс системы не меняется в процессе ее движения:

В замкнутой консервативной системе частиц сохраняется полная механическая энергия:

E = E_k + E_п = const.

Работа сил сопротивления равна убыли полной энергии системы частиц или тела:

A_conp = E₁ – E₂.

3. Механика твердого тела

Мерой инертности твердого тела при вращательном движении является момент инерции:

I = Σ m_i∙ r_i²

где m_i – элементарная масса i – го кусочка тела, r_i – расстояние этого кусочка от оси вращения.

Моменты инерции некоторых твердых тел относительно оси, проходящей через их центры масс:

Полый цилиндр

I = m ( R₁₂ + R₂₂).

Тонкий обруч

I = mR².

Сплошной цилиндр

Шар

Тонкий стержень

Если ось вращения не проходит через центр масс, для расчета момента инерции используют теорему Штейнера:

I = I₀ + ma²,

где I – момент инерции тела относительно данной оси, I₀ – момент инерции этого тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, m – масса тела, а – расстояние между осями.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела: I  = M,

где I – момент инерции твердого тела, относительно оси вращения,  – его угловое ускорение, М – суммарный момент сил, действующий на тело относительно данной оси.

Момент силы F равен: M = F l,

где l – расстояние от линии, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси:

L = I ω,

где I – момент инерции твердого тела относительно данной оси, ω – угловая скорость его вращения.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси:

L = m υ r,

где m – масса частицы, υ – ее скорость, r – расстояние от линии, вдоль которой движется частица, до данной оси.

В замкнутой системе частиц полный момент импульса не меняется:

ΣLi = const.

Кинетическая энергия вращающегося тела:

,

где I – момент инерции тела, ω – его угловая скорость.

Кинетическая энергия катящегося тела:

где m – масса тела, υ₀ – скорость поступательного движения центра масс, I₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость вращения тела.