1.9. Решение уравнений многомерных систем (системы со многими выходами)
Пусть
как и прежде
– входной,
– выходной и
–
промежуточные сигналы четырехполюсника.
Тогда система дифференциальных уравнений
четырехполюсника может быть записана
в виде
(1.67)
где
– правые части, зависящие только от
входного сигнала
.
Уравнения (1.67) для компактности можно
записать в векторной форме
, (1.68)
где
.
Решение
системы (1.68) состоит из совокупности
векторов-решений
,
(где
– произвольные постоянные) однородной
системы
(1.69)
и
частного вектора-решения
неоднородного уравнения (1.68)
.
Здесь
,
где
,
– частные решения. Индекс
соответствует номеру искомой переменной,
а индекс
– номеру частного решения.
1.9.1. Решение однородной системы
(СВОБОДНЫЙ РЕЖИМ)
Вид частных решений системы (1.69) определяет характеристическое уравнение
, (1.70)
где
– единичная матрица. В развернутой
форме (1.70) примет следующий вид:
. (1.71)
А. Корни характеристического уравнения
различные и действительные
В
этом случае корням
соответствуют частные решения
,
где
– произвольные постоянные.
Пример 1.13. Найти вид свободного решения системы
(1.72)
Характеристическое уравнение системы имеет вид
.
Отсюда
.
Этим корням соответствуют частные
решения
.
Для
определения вида свободной составляющей,
соответствующей корню
,
подставим
в (1.72)
Отсюда
.
Второе
уравнение является следствием первого,
поэтому один из коэффициентов можно
взять произвольно; примем
.
Тогда
.
Следовательно, первое частное
вектор-решение будет
.
В случае корня поступим аналогично предыдущему
откуда
,
.
Второе
уравнение снова является следствием
первого. Тогда произвольно примем
.
Следовательно, второе частное
вектор-решение будет
.
Таким образом, общее решение системы (1.72) имеет следующий вид:
или
Б. Корни характеристического уравнения действительные, кратные
Пусть
является r-кратным
корнем характеристического уравнения
(1.71). В этом случае также имеем п
частных решений
,
где
коэффициенты
,
как и прежде,
– произвольные постоянные.
Пример 1.14. Найти общее решение системы
(1.73)
Характеристическое уравнение системы имеет вид
.
Его
корни
.
Вектор-решение запишется как
. (1.74)
Коэффициенты
определяются подстановкой (1.74) в (1.73)
аналогично примеру 1.13
. (1.75)
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в системе (1.75), получим следующие системы
для определения коэффициентов
:
, (1.76)
. (1.77)
Поскольку
уравнения системы (1.77) линейно зависимы,
то коэффициент
может быть произвольным, например
.
Тогда
,
а из (1.76) следует, что
.
Из-за линейной зависимости уравнений
(1.76) коэффициенты
и
также произвольны; пусть
,
тогда
.
Таким образом, искомое свободное решение
будет равно
.
В. Корни характеристического уравнения комплексные
Пусть
таким корнем является
,
тогда ему соответствует сопряженный
корень
.
Общее решение системы в этом случае ищется в следующем виде:
, (1.78)
где
и
– вещественная и мнимая части частного
решения, соответствующего одному из
корней (например, корню
)
, (1.79)
где
коэффициенты
в общем случае будут комплексными.
Пример 1.15. Найти свободное решение системы
(1.80)
Характеристическое уравнение системы имеет вид
;
его
корни
.
Найдем частное решение для одного из корней, например для
.
Согласно (1.79)
. (1.81)
Подставим
(1.81) в (1.80) и сократим на
(1.82)
Отсюда следует, что
,
причем
– произвольное число (из-за линейной
зависимости системы (1.82)).
Пусть
,
тогда
.
Частное решение (1.81) будет иметь следующий
вид:
.
В соответствии с (1.78)
.