
- •Глава 1 линейные непрерывные системы
- •1.1. Линейная система
- •1.2. Динамические уравнения элементов электрических систем
- •1.3. Активные элементы четырехполюсников: операционные усилители
- •1.4. Понятие обратной связи
- •1.5. Дифференциальное уравнение типа "вход-выход" для четырехполюсника
- •1.6. Составление уравнений типа "вход-выход" для четырехполюсников
- •1.6.1. Использование законов кирхгофа
- •1.6.2. Метод узловых потенциалов
- •1.6.3. Метод переменных состояния
- •1.7. Решение дифференциального уравнения типа "вход-выход"
- •1.7.1. Общее решение однородного уравнения
- •1.7.2. Частное решение неоднородного
- •1.8. Определение реакции четырехполюсника классическим методом
- •1.8.1. Предшествующий
- •1.8.2. Законы коммутации
- •1.8.3. Обобщенные законы коммутации
- •1.8.4. Начальные условия.
- •1.8.5. Определение реакции четырехполюсника
- •1.9. Решение уравнений многомерных систем (системы со многими выходами)
- •1.9.1. Решение однородной системы
- •1.9.2. Определение частного решения
1.8.4. Начальные условия.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Решение неоднородного уравнения (1.24) состоит из совокупности частных решений
.
Принужденная
составляющая определяется непосредственно
из уравнения (1.25) по виду правой части
(п. 1.7.2). Для определения постоянных
интегрирования необходимо составить
систему из
уравнений
(1.48)
Величины
,
,
...,
называются начальными
условиями;
они определяются из уравнений
четырехполюсника, составленных по
законам Кирхгофа после коммутации с
учетом переменных состояния.
1.8.5. Определение реакции четырехполюсника
НА ВХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Для определения реакции выполняются следующие действия:
1. Составляется система дифференциальных уравнений четырехполюсника и преобразуется к уравнению типа "вход-выход".
2. Определяется решение однородного уравнения (свободный режим):
а) формируется характеристическое уравнение и находятся его корни;
б) по корням характеристического уравнения определяется вид общего решения .
3. Определяется частное решение неоднородного уравнения (принужденный режим):
а) записывается правая часть уравнения ;
б) по
виду
и с учетом корней характеристического
уравнения определяется вид частного
решения
;
в) частное решение подставляется в неоднородное уравнение, и тем самым определяются произвольные постоянные, присутствующие в .
4. Составляется
система уравнений для определения
произвольных постоянных общего
решения
однородного
уравнения.
5. По схеме до коммутации определяются переменные состояния в момент .
6. Записываются уравнения четырехполюсника после коммутации для . Используя переменные состояния и уравнения системы, определяются необходимые начальные условия: , , ..., , где число произвольных постоянных, подлежащих определению.
П
ример 1.12.
Определить реакцию четырехполюсника
(рис. 1.14)
на
входное воздействие
.
Параметры
цепи:
,
.
До коммутации четырехполюсник находился
под воздействием напряжения
.
1. Составляем дифференциальное уравнение цепи. Четырехполюсник описывается следующими уравнениями:
,
(1.49)
, (1.50)
,
(1.51)
.
(1.52)
Подставим (1.52) в (1.49)
. (1.53)
Неизвестный
ток
найдем из уравнений (1.50) и (1.51)
. (1.54)
С учетом (1.54) уравнение (1.53) примет следующий вид:
.
Дифференцируя два раза, получим
. (1.55)
Подставляя в (1.55) исходные данные, получим искомое дифференциальное уравнение типа "вход-выход"
.
2. Решаем однородное уравнение (определяем свободную составляющую)
.
Составим характеристическое уравнение
.
Корни
кратные, кратность
.
Общее решение будет иметь вид
. (1.56)
3. Определяем
частное решение
неоднородного уравнения (принужденную
составляющую)
. (1.57)
Правая
часть (1.57) равна
.
В соответствии с (1.36)
частное решение
.
Подставив
его в (1.57), получим уравнение для
определения
.
Откуда
следует, что
.
Тогда
. (1.58)
4.
Составим систему уравнений для определения
произвольных постоянных
и
.
Согласно (1.26), (1.56)
и (1.58)
.
Поскольку искомых постоянных только две, то система (1.48) примет следующий вид:
, (1.59)
. (1.60)
5. Определим переменные состояния. Для этого рассматриваем схему до коммутации. Учитывая, что до коммутации на входе четырехполюсника действовало постоянное напряжение и процесс носил установившийся характер, получаем, что ток в цепи
. (1.61)
Тогда
из (1.49) с учетом того, что
,
следует:
В,
(1.62)
а из (1.61)
. (1.63)
6.
Определим начальные условия
и
.
Для этого воспользуемся уравнением
(1.49). Учитывая (1.50), (1.62) и (1.63), получаем
. (1.64)
Чтобы найти , продифференцируем (1.49)
. (1.65)
Из
(1.52) следует, что
,
а из (1.50) и (1.51)
.
Поэтому согласно (1.65)
. (1.66)
Решая совместно (1.59), (1.60), (1.64) и (1.66), получим
,
.
График
изменения сигнала на выходе четырехполюсника
представлен на рис. 1.15.