1.7.2. Частное решение неоднородного

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

(ПРИНУЖДЕННЫЙ РЕЖИМ СИСТЕМЫ)

Пусть – многочлены степени .

1. Если правая часть уравнения (1.24) имеет вид

, (1.34)

то его частное решение ищется в виде

, (1.35)

если не является корнем характеристического уравнения, или в виде

, (1.36)

если является r-кратным корнем характеристического уравнения (1.25).

2. Если

, (1.37)

то частное решение ищется в виде

, (1.38)

если не является корнем характеристического уравнения (1.25), или в виде

,

если является r-кратным корнем характеристического уравнения системы. Здесь .

Во всех случаях и – многочлены с неопределенными постоянными. Кроме того, если правая часть уравнения (1.24) представлена комбинацией функций (1.34), (1.35) и (1.37), (1.38), то частное решение равно сумме решений, соответ­ствующих каждому члену линейной комбинации.

Пример 1.8. Определить принужденное решение уравнения .

Корень характеристического уравнения . Он совпадает с коэффициентом затухания экспоненты в правой части уравнения. Согласно (1.36)

. (1.39)

Коэффициент найдем, подставив (1.39) в исходное уравнение

.

Отсюда .

1.8. Определение реакции четырехполюсника классическим методом

1.8.1. Предшествующий

И ПОСЛЕКОММУТАЦИОННЫЙ РЕЖИМЫ

Примем момент скачкообразного изменения входного сигнала за нуль. Тогда по левую сторону от будет находиться предшествующий режим, а по правую – послекоммутационный (режим после изменения или правой части уравнения (1.24)). Поскольку в точке сходятся два процесса, то она принадлежит обоим процессам и имеет особый статус. Для внесения определенности в статус этой точки в электротехнике момент коммутации на оси времени представляют как совокупность двух точек: и . Точка принадлежит предшествующему режиму, а – послекоммутационному. Соответственно представляются и все остальные величины, характеризующие процесс. Например, значение электрической величины в момент определяется как предельное значение при подходе к точке слева

,

а в момент – как предельное приближение справа по оси (рис. 1.10)

.

1.8.2. Законы коммутации

О сновной закон коммутации можно выразить следующим образом: переменные состояния системы не могут изменяться скачком.

В электротехнике переменными состояния являются потокосцепление (ток в индуктивности при ) и заряд (напряжение на емкости при ). Применительно к ним законы коммутации формулируются следующим образом (рис. 1.11):

1. Потокосцепление (ток в индуктивности ) не может изменяться скачком, т.е. в момент коммутации выполняются следующие равенства:

, (1.40)

. (1.41)

2. Заряд конденсатора (напряжение на емкости ) не может изменяться скачком, т.е. в момент коммутации справедливы следующие зависимости:

, (1.42)

. (1.43)

1.8.3. Обобщенные законы коммутации

Есть особые случаи, когда законы (1.40) - (1.43) нарушаются. Для этих случаев формулируют обобщенные законы коммутации.

1. Если в схеме после коммутации образовался контур, состоящий из индуктивных элементов или из индуктивных элементов и источников тока, то в момент коммутации алгебраическая сумма потокосцеплений упомянутого контура непрерывна

. (1.44)

Потокосцепление индуктивности берется со знаком "+", если направление обхода контура совпадает с принятым направлением тока в индуктивности.

П ример 1.9. Определить токи в индуктивностях в момент , если (рис. 1.12).

Ток . После размыкания ключа индуктивность стремится поддерживать ток , а индуктивность  – ток . Поскольку индуктивности составляют последовательную цепь, то по закону Кирхгофа их токи в момент должны быть одинаковы: , что нарушает закон (1.41), так как , а . Поэтому нужно применить обобщенный закон (1.44)

.

Подставим известные величины, тогда получим систему уравнений

откуда следует, что

2. Если в схеме после коммутации образовались контуры, состоящие только из емкостей или из емкостей и источников напряжения, то в момент коммутации алгебраическая сумма зарядов емкостей, присоединенных к общему узлу, непрерывна

. (1.45)

Знак заряда считается положительным, если напряжение на емкости направлено от узла.

Пример 1.10. Найти напряжения на конденсаторах в момент , если и (рис. 1.13).

В этой схеме не выполняются законы (1.42) и (1.43). Применим обобщенный закон (1.45) для узла а, получим

. (1.46)

Кроме того, должен выполняться второй закон Кирхгофа

. (1.47)

Подставим в (1.46) и (1.47) известные значения

Совместное решение уравнений дает следующий результат:

.