9. Элементы квантовой механики

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

где Ψ – волновая функция, ,

E – полная энергия частицы, U – ее потенциальная энергия, .

Собственная волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике имеет вид

где ℓ - ширина потенциального ящика.

Собственное значение энергии частицы, находящейся на n-ом энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике определяется выражением

Вероятность обнаружения частицы в интервале от x до x+dx выражается формулой

,

где │Ψ(x)│² – плотность вероятности.

Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины рассчитывается по формуле

,

где U – высота потенциального барьера, d – ширина барьера.

Состояние электрона в атоме определяется квантовыми числами n, ℓ, m_ℓ, m_s. n – главное квантовое число, определяющее значение энергии атома; n=1, 2, 3… .

Собственные значения энергии электрона в атоме водорода

ℓ - орбитальное квантовое число, определяющее значение орбитального момента импульса электрона; ℓ=1, 2…(n-1)

m_ℓ - магнитное квантовое число, определяющее проекцию орбитального момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля; m_ℓ = -ℓ…0…+ℓ

L_H=m_ℓħ

m_s - магнитное спиновое квантовое число, определяющее проекцию спина на направление внешнего магнитного поля; m_s = ±½

L_S,H=m_sħ

Спин – собственный момент импульса электрона (и других элементарных частиц)

где S – спиновое квантовое число; S=½.

10. Строение ядра. Энергия связи. Радиоактивность

Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: , гдеZ – зарядовое число, определяющее число протонов в ядре, A – массовое число, определяющее число нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре.

Закон радиоактивного распада

N=N₀exp(-λt),

где N₀ – число ядер в начальный момент времени (t=0), N – число ядер в момент времени t, λ – постоянная радиоактивного распада.

Количество атомов, распавшихся за время t

Период полураспада T – промежуток времени, за который число ядер уменьшается в два раза. Период полураспада и постоянная распада связаны соотношением

Закон радиоактивного распада можно представить в другом виде

В случае, когда промежуток времени Δt мал по сравнению с периодом полураспада Т (Δt<<T), то число распавшихся ядер можно определять по приближенной формуле

ΔN ≈ λ·N·Δt

Среднее время жизни τ радиоактивного изотопа – промежуток времени, за который число ядер уменьшается в e раз

Активность радиоактивного изотопа – число ядер, распавшихся в единицу времени

начальная активность (при t=0)

A₀=λN₀

Активность изменяется с течением времени по закону

Уравнения α- и β- распадов (правила смещения):

Закон поглощения γ-излучения веществом

I=I₀e^–μx,

где I₀ – интенсивность γ-излучения, падающая на слой вещества толщиной x, I - интенсивность γ-лучей, прошедших слой x, μ – линейный коэффициент поглощения.

Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции)

,

где и - суммы масс покоя частиц, соответственно, до и после реакции,с – скорость света в вакууме. Если , то реакция идет с выделением энергии; если, то реакция идет с поглощением энергии.

Энергетический выход ядерной реакции чаще измеряют не в системе СИ (Дж), а в МэВ.

В этом случае массу частиц измеряют в атомных единицах массы (а.е.м.), а значение .

Все ядерные реакции идут в соответствии с законами сохранения заряда, массового числа (число нуклонов), полной энергии и импульса.

Под полной энергией подразумевается полная релятивистская энергия, определяемая по формуле

,

где - сумма энергий покоя частиц до реакции,- сумма их кинетических энергий. Справа стоят те же физические величины, относящиеся к частицам, образующимся в результате реакции.

Энергия связи ядра, т.е. энергия, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его частицы без сообщения им кинетической энергии, определяется формулой

где m_p, m_n и m_я , соответственно, массы протона, нейтрона и ядра.

Так как в справочных таблицах приводятся значения масс атомов, а не ядер, надо перейти к соотношению, содержащему эти величины. Масса ядра m_я= m_а-Zm_e, где m_e – масса электрона, тогда

Учитывая, что

- масса атома водорода, можно записать