Принцип максимума

Принцип ммаксимума. Говорят, что допустимое управление u(t), t T, удовлетворяет условию максимума, если вдоль него и соответствующих ему траекторий x(t), (t), tT исходной системы, описываемой уравнением

,

и сопряженной системы, описываемой уравнением

,

где - так называемые сопряженные переменные, гамильтониан системы достигает максимума:

Принцип максимума Понтрягина: каждое оптимальное управление удовлетворяет условию максимума.

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности первого порядка (в его формулировке отсутствуют производные от элементов первого порядка). В общем случае, принцип максимума не есть достаточное условие оптимальности, т.е. не каждое допустимое управление, удовлетворяющее принципу максимума, является оптимальным.

Оптимизация в многофункциональных пространствах (векторная оптимизация)

Проблема одновременной минимизации нескольких целевых функций в теории экстремальных задач возникла из достаточно распространенных на практике ситуаций, когда выбираемые решения (планы) оцениваются по нескольким показателям.

Эффективные планы. Пусть на заданном множестве планов определен набор целевых функций, составляющих целевую вектор-функцию. План, доставляющий минимум по одной целевой функции, называется скалярно оптимальным планом. Задача векторной оптимизации состоит в построении векторно оптимального плана, в основу которого положено стремление достичь минимума заданной системы целевых функций. Ситуация, когда существует план, скалярно оптимальный по каждой целевой функции, исключительна и практически не реализуема. Общей является такая ситуация, когда для каждого плана, скалярно оптимального по одной целевой функции, существует вариация, которая приводит к уменьшению значений хотя бы одной из оставшихся целевых функций. В задачах векторной оптимизации эффективные планы выступают как “полуоптимальные” планы, как промежуточный результат.

Существуют следующие методы решения задачи векторной оптимизации:

Усреднение целевых функций. В этом методе векторная целевая функция заменена на скалярную.

Введение иерархии целевых функций. В этом методе строятся оптимальные планы по наиболее важной целевой функции (находится минимальное возможное значение целевой функциии делается уступка величиной a). Далее минимизируется вторая по важности целевая функция в пределах уступки a. Процесс заканчивается минимизацией последней по важности целевой функции.

Установление гарантированных уровней. В этом методе принимают, что минимизация существенна только по одной целевой функции, а по остальным достаточно лишь достижение заданных уровней.

Существуют также методы условной оптимизации, минимизации расстояния до идеальной точки, пропорциональных уступок, многоуровневой векторной оптимизации.