Теорема Куна - Таккера

Для того, чтобы точка x минимизировала выпуклую функцию f0 на множестве X1, удовлетворяющем условию Слейтера:

необходимо и достаточно, чтобы существовало решение системы

Такое решение называют множителями Лагранжа, а пару (,) - точкой Куна - Таккера. Функцию называют функцией Лагранжа. Паруназывают седловой точкой функциина множестве, еслии выполнены неравенства. Теорему Куна - Таккера можно сформулировать следующим образом: если выполнено условие Слейтера, то необходимым и достаточным условием оптимальностиявляется существование такого вектора, при котором параявляется седловой точкой функции Лагранжа на множестве.

Динамическое программирование

Динамическое программирование - раздел математического программирования, совокупность приемов, позволяющих находить оптимальные решения, основанные на вычислении последствий каждого решения и выработке оптимальной стратегии для последующих решений.

Процессы принятия решений, которые строятся по такому принципу, называются многошаговыми процессами. Математически оптимизационная задача строится в динамическом программировании с помощью таких соотношений, которые последовательно связаны между собой: например, полученный результат для одного года вводится в уравнение для следующего года (или наоборот, для предыдущего), и т. д. Таким образом, можно получить на вычислительной машине результаты решения задачи для любого избранного момента времени и “следовать” дальше. Динамическое программирование применяется не обязательно для задач, связанных с течением времени. Многошаговым может быть и процесс решения вполне статической задачи. Таковы, например, некоторые задачи распределения ресурсов.

Общим для задач динамического программирования является то, что переменные в модели рассматриваются не вместе, а последовательно, одна за другой. Иными словами, строится такая вычислительная схема, когда вместо одной задачи со многими переменными строится много задач с малым числом (обычно даже одной) переменных в каждой. Это значительно сокращает объем вычислений. Однако такое преимущество достигается лишь при двух условиях: когда критерий оптимальности аддитивен, т.е. общее оптимальное решение является суммой оптимальных решений каждого шага, и когда будущие результаты не зависят от предыстории того состояния системы, при котором принимается решение. Все это вытекает из принципа оптимальности Беллмана, лежащего в основе теории динамического программирования. Из него же вытекает основной прием - нахождение правил доминирования, на основе которых на каждом шаге производится сравнение вариантов будущего развития и заблаговременное отсеивание заведомо бесперспективных вариантов. Когда эти правила обращаются в формулы, однозначно определяющие элементы последовательности один за другим, их называют разрешающими правилами.

Процесс решения при этом складываются из двух этапов. На первом он ведется “с конца”: для каждого из различных предложений о том, чем кончился последний шаг, находится условное оптимальное управление на последнем шаге, т. е. управление, которое надо применить, если предпоследний шаг закончился определенным образом.

Такая процедура приводится до самого начала, а затем - второй раз - выполняется от начала к концу, в результате чего находятся уже не условные, а действительно оптимальные шаговые управления на всех шагах операции.

Несмотря на выигрыш в сокращении вычислений при использовании подобных методов по сравнении с простым переборам возможных вариантов, их объем остается очень большим. Поэтому размерность практических задач динамического программирования всегда незначительна, что ограничивает его применение.

Можно выделить два наиболее общих класса задач, к которым в принципе мог бы быть применим этот метод, если бы не “проклятие размерности”. (На самом деле на таких задачах, взятых в крайне упрщенном виде, пока удается лишь продемонсрировать общие основы метода и анализировать экономико-математические модели.) Первый - задачи планирования деятельности экономического объекта (предприятия, отрасли и т.п.) с учетом изменения потребности в производимой продукции во времени. Второй класс задач - оптимальное распределение ресурсов между различными направлениями во времени.