101. Морфологические операции в дискретном пространстве. Морфологические операции в дискретном пространстве

Обычно  -мерные дискретные данные упорядочиваются в соответствии с   целочисленными параметрами, образуя некоторую пространственную структуру. Если эти параметры изменяются регулярным образом (например, номера столбцов и строк в дискретном изображении), структура может быть представлена в виде решетки. Построим двумерную решетку следующим образом: определим в   два линейно независимых вектора   и  . Решеткой назовем множество вершин всех возможных векторов вида  , где  ,  — целые числа. Примеры наиболее распространенных решеток приведены на рис. 10.12.

Яндекс.ДиректСрочное решение задач (школа,ВУЗ) Математика, физика, экономика и др. Нам -задача, Вам-решение.Отвечаем сразуvuz‑help.ru 18+Решение задач по химии Выполняем решение задач и контрольных по различным разделам химии.my‑chemistry.com 18+

Переход от непрерывного к дискретному пространству создает ряд проблем не только формального, но и практического характера. Принципиальная анизотропия дискретного пространства делает невозможным, например, поворот на произвольный угол. Возникает проблема и с нахождением расстояния, которое в непрерывном пространстве вводится достаточно естественным образом. Для некоторых типов решеток неоднозначным образом определяется понятие соседства. Последнее обстоятельство иллюстрирует рис. 10.13. Назовем множество связным, если из одной его точки к любой другой можно проложить путь, проходящий только по точкам, принадлежащим этому множеству, при этом каждая следующая точка пути должна соседствовать с текущей.

Рис. 10.12. Примеры решеток:1-квадратная, 2-прямоугольная, 3-гексагональная

На рис. 10.13, а слева приведено три возможных задания соседства для прямоугольной решетки: соседство через стороны решетки, через узлы решетки и через стороны и узлы. Если мы примем первое определение соседства, то обнаружим, что белое поле в правой части рисунка состоит из двух частей, не связанных между собой. Следовательно, их должна разделять связная область черного цвета. Между тем такой области нет, поскольку точки черного контура тоже не связаны между собой. Если воспользуемся вторым определением соседства, получим не менее парадоксальную ситуацию: теперь точки и вне и внутри связного контура принадлежат односвязной области. Та же ситуация возникает и при третьем определении соседства.

Рис. 10.13. Соседство и связность: и - прямоугольная решетка; б — гексагональная решетка

Один из способов устранения этого противоречия состоит в том, чтобы определять по-разному соседство для белых и черных областей, скажем, для белых через стороны, а для черных - через узлы. Но тогда одни и те же операции, выполненные на изображениях, инвертированных друг относительно друга по яркости, могут приводить к различным результатам. Другой способ состоит в выборе типа решетки, не создающего вовсе этой проблемы. К такому типу относится гексагональная решетка (рис. 10.13, б). Поэтому ниже будем пользоваться этой решеткой.

Влияние анизотропии дискретного пространства демонстрирует рис. 10.14. Здесь показано поведение функции  , вычисленной для объекта, представляющего дискретную аппроксимацию равностороннего треугольника на гексагональной решетке. В качестве структурного элемента используется дискретный аналог круга радиусом   - гексагон  , где   - длина стороны гексагона (см. рис. 10.14,а слева). В первом случае (рис. 10.14, а) стороны треугольника параллельны базисным векторам решетки  ,    и вектору  , задающему третье главное направление решетки [10.2]. Во втором случае (рис. 10.14, б) треугольник повернут на угол 90°.

Рис. 10.14. Влияние ориентации на функцию формы объекта. Белым обозначены точки, исчезающие на первом шаре ; светло-серым - на втором  ; темно-серым — на третьем  : черным — на четвертом 

Эти особенности необходимо учитывать при реализации введенных выше морфологических операций в дискретном пространстве. Существует ряд операций, которые можно определить и в непрерывном пространстве, однако их применение имеет практический смысл только на решетках. Одна из таких операций нам уже известна. Это НМ-преобразование. НМ-преобразование, использующее различные структурные элементы, позволяет выделять особые точки на изображении. Например, точки разветвления линий на гексагональной решетке могут появляться только в конфигурациях, приведенных на рис. 10.15, причем конфигурации 1-2, 3-8 и 9-14 идентичны с точностью до поворота вокруг центральной точки. Поэтому НМ-преобразование с использованием структурных элементов, построенных на базе конфигураций 1, 3 и 9, позволяет выявить любые точки разветвления.

Рис. 10.15. Конфигурации, соответствующие точкам разветвления на гексагональной решетке